2、区域。这样，在L方向上，二元函数Z=f(x,y),可视成关于方向L的一元函数，Z=G(L)o在方向L上，一元函数洛必达法则仍然适用。二、L方向上的洛必达法则转换成任意方向的二元函数求极限的方法(%1)在L方向上，当r二(x-xO)2+(y-yO)2—0时,函数F(L)、G(L)满足下列条件：1：F(L)->0、G(L)->02：dF(L)d(L)与d(L)dL存在且d(L)dLHO3：limr-OdF(L)dLdG(L)dL存在，贝ljlimr-OF(L)G(L)二limr-OdF(L)dLdG(L)dL(%
3、1)转换成方向导数求“00”型的二元函数极限因为ff0〜X—xO,yfyO,所以有x-^xO,y-^yO时，当函数f(x,y)、G(x,y)满足下列条件1：f(x,y)—0,G(x,y)—0。2：dF(x,y)dr=F(x,y)xcosa+F(x,y)ysina>dG(x,y)dr=F(x,y)xcosa+G(x,y)ysinQ存在且dG(x,y)dr=F(x,y)xcosa+G(x,y)ysina7^0,3：limy—yOxfxOF(x,y)G(x,y)=limy—yOxfxOF(x,y)xcosa+F(x
4、,y)ysinaG(x,y)xcosa+G(x,y)ysina,注Q在Oo…360o取任意值时，都成立时，极限存在，等于右侧的值。a取某一确定值时，右侧不存在时，极限不存在。同理可以导出Xf°°,yfoo的法则：y-*00,时,当函数f(x,y)、G(x,y)满足下列条件1：f(x,y)—0,G(x,y)—0。2当x>N,y>N时，dF(x,y)dr=F(x,y)xcosa+F(x,y)ysina>dG(x,y)dr=F(x,y)xcosa+G(x,y)ysina存在，且dG(x,y)dr=F(x,y)xco
5、sa+G(x,y)ysinaHO,3：limxf°°yf°°F(x,y)G(x,y)=limx-*°°y-*°°F(x,y)xcosa+F(x,y)ysinaG(x,y)xcosa+G(x,y)ysina,注a在Oo…360o取任值时,都成立时,极限存在，等于右侧的值。a取某一确定值时，右侧不存在时，极限不存在。实例计算例1:求liirix—Oy—Osinxyx+y解：limxfOyfOsinxyx+y=limx~>Oy-*Oycosxycosa+xcosxysinacosa+sinQ,因为分子不恒为0,而当
6、Q二3肌4时sina+cosa二0,故limxf0y—Osinxyx+y不存在。例2：求liinx—0y-*Osinxyxy解：limxfOyfOsinxyxy=limxfOyfOycosxy•cosa+xcosxy•sinaycosa+xsina=1,与重要极卩艮一样的结论。例3：求limxfOyf0n2-arctanxylxy解：:limxfOyfOn2-a.rctanxylxy=limx-^Oy-^O-yll+x2y2cosa-xll+x2y2sina-y(xy)2cosa~x(xy)2sin=limx
7、-*0y-*0x2y21+x2y2=0四、结语求二元函数的极限与连续性，有时十分复杂。本文提出的上述法则，可能会有益于二元函数的极限与连续的分析。三元及更多元函数的极限与连续情形更复杂，有待进一步的探究。
