MATLAB数学实验报告 定积分的近似计算.doc

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1、.专业整理.MATLAB数学实验报告实验日期：2015年11月20日实验名称定积分的近似计算姓名：学号：班级：问题背景描述：利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值

2、计算，Matlab有专门函数可用。实验原理与数学模型：1． 矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同。.学习帮手..专业整理.（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取。（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2． 梯形法等分区间，相应函数

3、值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，.学习帮手..专业整理.，即，称此式为梯形公式。 3． 抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：.学习帮手..专业整理.由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Si

4、mpson）公式． .学习帮手..专业整理.实验所用软件及版本：Matlab7.0主要内容（要点）：1． 分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．2． 试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）3． 学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环。实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：第2题梯形法formatlonga=1;b=2;n=120;s=

5、0;symsxyy=1/x;fori=a:1/n:bxj=a+(i-1).*(b-a)./n;%左点xi=a+i.*(b-a)./n;%右点yj=subs('y','x',xj);%左点值yi=subs('y','x',xi);%右点值s=s+(yi+yj).*(b-a)./(2.*n);endsintegrate=int(y,1,2)%integrate为matlab中自带的积分函数integrate=double(integrate)abs((s-integrate)./integrate)%相对误差.学习帮手..专业整理.

6、【调试结果】s=(121*y)/120integrate=log(2)integrate=0.693147180559945ans=abs((136233888727957504*y)/93649721522480385-1)抛物线法：formatlonga=1;b=2;s=0;n=120;%抛物线条数120小区间个数2*nsymsxyy=1/x;fori=a:1/n:bx0=a+(2.*i).*(b-a)./(2*n);%第一点x1=a+(2.*i-1).*(b-a)./(2*n);%第二点x2=a+(2.*i-0).*(b-

7、a)./(2*n);%第san点y0=subs('y','x',x0);%第一点值y1=subs('y','x',x1);%第二点值y2=subs('y','x',x2);%第三点值s=s+(y0+4.*y1+y2).*(b-a)./(6.*n);endsintegrate=int(y,1,2)%integrate为matlab中自带的积分函数integrate=double(integrate)abs((s-integrate)./integrate)%相对误差【调试结果】s=(121*y)/120integrate=log(

8、2)integrate=0.693147180559945ans=abs((136233888727957504*y)/93649721522480385-1)使用函数trapz()x=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)【调试结果】.学习帮手