复合函数概念精析.doc

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1、复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋14复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。例如y=si

2、n2x它与y=sinx不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·

3、14g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin2x。因此有人说复合函数是函数的函数。为了叙述和应用的方便，我们通常用“

4、层”来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数y=f［g(x)］中称f定义的函数y=f(u)为外层函数（外函数），称g定义的函数u=g(x)为内层函数（内函数），且称函数y=f［g(x)］为函数f和g复合一次得到。这里外层函数的映射法则f和内层函数的映射法则g构作的复合函数的映射法则称为复合映射fg（注意：不能把fg读作“f乘g”，因为复合映射不具有交换律，即fg≠gf，这是复合映射很重要的一个基本特征）。有人形容复合映射fg是具有传递性的两个映射f和g的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。1、从函数定义理解

5、既然函数y=f［g(x)］可视为函数y=f(u)和函数u=g(x)复合得到，因而它们都必须符合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求。14设函数u=g(x)的定义域是D，值域是M。再设y=f(u)的定义域是N，值域是R，则D、M、N、R都是非空的数集。从“复合”中我们发现内层函数u=g(x)具有二重性：一方面它是自变量x的函数，当x∈D时，则有g(x)∈M；另一方面它又是函数y=f(u)的自变量，当g(x)=u∈N

6、时，则有y=f(u)∈R。要使y=f(u)仍然是函数，就要求u=g(x)的值域M和y=f(u)的定义域N必须有交集（非空数集）。MNф是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数y=f(u)的定义域N，既受到外层函数的映射法则f的制约，又受到内层函数u=g(x)的值域M的限定。只看一面，不看另一面就会犯概念的错误。有的同学不加分析地认为任何两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如y=ln(sinx–2),y=arccos(x+2)等都不是复合函数，因为y=lnu是自然对数，定义域N必须符合u>0(u∈N

7、),但u=sinx–2,而

8、sinx

9、≤1故sinx–2≤–1,于是有MN=｛u︱u>0｝｛x｜sinx–2≤–1｝=ф,故y=ln(sinx–2)不能构成复合函数。同理,y=arccos(x+2)也不能构成复合函数（它们都不是函数）。据此，反思前面给出的定义，我们发现这个定义是不严谨的。它忽视了构造复合函数y=f［g(x)］过程中各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义。为此，我们把定义补充为：如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=g(x)，且对于x值所对应的u值，函数y=f(u)是有定义的,即y

10、=f(u),u∈N,u=g(x),x∈M，MN=ф,则y关于x的函数y=f［g(x)］叫做f和g的复合函数。3、从结构特征理解14除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外，每一次复合都是把内层函数的整体作为自变量施行新的映射，这样，像穿衣服一样，从内到外逐次添加映射，直至构造出所需函数。这一独特的发生过程，不仅给出了复合函数的结构