4-4高阶微商与高阶微分

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1、第四节高阶微商与高阶微分第四章微商与微分二、常用的高阶微商方法一、高阶微商的定义三、高阶微商的运算法则一、高阶微商的定义速度即加速度即引例：变速直线运动若函数的导数可导,或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数（微商),记作的导数为依次类推,分别记作则称定义二、常用的高阶微分方法例1设求解：1.直接法求高阶导数就是多次接连地求导数.例2求的n阶导数.解：求解:一般地,类似可证:例3设2.数学归纳法证明高阶导数解例4设求思考：函数的n阶导数？提示:3.常用（已知）公式求高阶导数例5求都有n阶导数,则(C为常数)及设函数三、高阶导数的运算法

2、则莱布尼兹(Leibniz)公式用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.求解:设则代入莱布尼兹公式,得例6四.高阶微分其二阶微分为设函数y=f(x)二阶可导,当x为自变量时,由此看出,当x为自变量时,类似可定义n阶微分:具有这种不变性？看一下二阶微分的情形：性,且可构成复合函数y=f((t)),则设函数y=f(x),x=(t)都具有相应的可微就是说,二阶微分不具备微分形式不变性.高阶微分不具备微分形式不变性.五、参数方程高阶微分法若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有关系,时,有(此时看成x是y的函数)二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程

3、,可得若上述参数方程中解：内容小结1.复习基本求导法则与导数公式(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式2.高阶导数的求法如,(4)利用莱布尼兹公式思考与练习1.求的n阶导数?解:2.求函数在x＝0处的n阶导数提示：利用莱布尼兹公式