高阶微商与高阶微分

《高阶微商与高阶微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§4高阶微商与高阶微分1．高阶微商物体运动规律瞬时速度＝＝瞬时加速度＝＝，或＝＝．由此产生了高阶导数的概念．一般地，设在可导，则仍是上的函数．若也在可导，则称的微商为的二阶微商(二阶导数)，记为或或类似地可定义的微商为的三阶微商(三阶导数)，记为或或．定义的微商为的阶微商(阶导数)，记为或＝．下面给出几个常用的阶导公式设(是正整数)，若，则若，则例1例2设，求解，，，。研究规律，得，＝＝，＝＝由此我们不难归纳出对于，则例3设，求解；方程两边再对求导并注意是的函数，得2()；＝；若，则由数学归纳法得＝例4高阶微商的运算法则：若都是的函数1、

2、＝．2、若，则＝，＝1，2…．（莱布尼兹公式）这里，函数的零阶导数理解为函数本身．下面用数学归纳法证明．事实上，时就是导数的乘积公式，设公式对成立，则（令）其中用等式，，由数学归纳法知公式对一切正整数成立。例4设＝，求。解由上面的规律易见，若＝，其中是正整数，则若，则若，则例6设，求解＝＝＝，故＝－＝注意，对＝用莱布尼兹公式当然可以，但显然是自找麻烦2．高阶微分函数的一阶微分是其中和是两个独立的变量，现在把一阶微分视为的函数，如果它是可微的，则再求一次微分得＝＝.上式称为函数的二阶微分，记为。把记为，即有＝注意：＝是自变量微分的平方，＝是

3、函数的微分，应理解为的二阶微分类似地，可以定义的三阶微分＝．一般地，的阶微分为＝，于是＝这正是阶导数符号的由来。应搞清楚、和的差别阶微分的运算法则．设都是的函数，则＝，．一阶微分具有形式不变性，即不论是对中间变量，还是对自变量，都有，高阶微分是否也具有形式不变性呢?当是自变量时，＝，当是自变量时，是否仍成立？请看下例：设，当是自变量时有＝又若，则复合函数为，故＝＝但可见当是中间变量时，＝不再成立，它少了一项．所以高阶微分不再具有形式不变性．—般地若，，由一阶微分形式不变性有由于这时是中间变量，故和不再独立，它们都是自变量的函数，在求二阶微

4、分时应该用乘积的微分法则，即＝＋．与是自变量情形比较，它多了第二项，这就说明了高阶微分不具有形式不变性.因此，在带有高阶微分的等式中，不能随便使用变量代入．这是高阶微分与一阶微分的重要差别．