§2.2 行列式的性质

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1、§2行列式的性质设是一个确定的n阶排列，　　则定义1设行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.证推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2行列式的某一行（列）中所有元素为零，则该行列式等于零．推论3设A为n阶方阵，k为数，则性质3若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：证由行列式的定义性质4交换行列式的两行（列），行列式变号.即推论4如

2、果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质5行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零．证明互换相同的两行，有性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变．例如证利用行列式的性质进行计算计算行列式常用方法利用行列式的第i行的k倍加到第j行，行列式的值不变，把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例例1解分析：此行列式的特点是每一行的元素之和相等，有这种特点的行列式的计算可以考虑把后面各列加到第一列中，然后提取第一列个元素的公因子。把第2，3，4列各元素分别加到第一列上式行列式第1行

3、的（-1）倍分别加到第2，3，4行得例2其中n>2.解第2行与第n行成比例，故说明把行列式的某一行（列）的k倍加到其余各行（列）是常用的方法之一。例3解分析此行列式的特点是相邻两行对应元素要么差1要么相等，这类行列式可以考虑依次把上一行的（-1）倍加到下一行去，即把第（i-1)行的（-1）倍加到第(i)行中.说明相邻两行依次相减也时常用方法之一。例4提示：例5设A为n阶方阵，且思考题计算阶行列式解推广n阶行列式