利用最小二乘法进行数据拟合.doc

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1、利用最小二乘法进行数据拟合:例1.在某个低温过程中，函数依赖于温度的试验数据如下表：12340.81.51.82.0已知经验公式的形式为，根据最小二乘法原理编制MATLAB程序求出，并做相应的理论分析。解：在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。设x和y的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中c1，c2，……cm是m个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，

2、……，N。都对应于xy平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取m组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-2）式中i＝1，2，……，m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。显然Nm的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y的观测值yi围绕着期望值摆动，其分布为正态分布，则

3、yi的概率密度为,式中是分布的标准误差。为简便起见，下面用C代表（c1，c2，……cm）。考虑各次测量是相互独立的，故观测值（y1，y2，……cN）的似然函数.取似然函数L最大来估计参数C，应使（0-0-3）取最小值：对于y的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子，故式（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值yi的偏差的加权平方和为最小。根据式（0-0-3）的要求，应有从而得到方程组（0-0-4）解方程组（0-0-4），即

4、得m个参数的估计值，从而得到拟合的曲线方程。然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若yi服从正态分布，可引入拟合的x2量，（0-0-5）把参数估计代入上式并比较式（0-0-3），便得到最小的x2值（0-0-6）可以证明，服从自由度v＝N-m的x2分布，由此可对拟合结果作x2检验。由x2分布得知，随机变量的期望值为N-m。如果由式（0-0-6）计算出接近N-m（例如），则认为拟合结果是可接受的；如果，则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。把化为线性二乘拟合，即：于是就可以写编程序了。先写一个主程序zxecf.m，然后写一个被调

5、用程序phi_k.mMatlab程序如下：functionS=zxecf(x,y,n,w)globali;globalj;ifnargin<4w=1;endifnargin<3n=1;endphi2=zeros(n+1);fori=0:nforj=0:nphi2(i+1,j+1)=sum((w.*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j));endendphif=zeros(n+1,1);fori=0:nphif(i+1)=sum((w.*phi_k(x,i)).*y);endS=phi2phif;functiony

6、=phi_k(x,k)ifk==0y=ones(size(x));elsey=x.^k;end现在就在Matlab命令窗口输入如下命令：x=[1234];y=[0.81.51.82.0];plot(x,y,'*');S=zxecf(x,y./x);holdona=S(1);b=S(2);x1=1:0.001:4;y1=a*x1+b*x1.^2;plot(x1,y1,'r-');title('最小二乘法拟合图像');xlabel('x轴');ylabel('y轴');gtext('y=ax+bx^2的图像');a,b运行后得

7、到结果如下：a=0.9250b=-0.1050相关的分析略。