青岛大学考研真题高等代数2011.pdf

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1、青岛大学2011年硕士研究生入学考试试题科目代码：816科目名称：高等代数（共2页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效一、(30分)设ε,ε,ε,ε是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基1234下的矩阵为⎛1021⎞⎜⎟⎜−1213⎟⎜⎟1255⎜⎟⎜⎟⎝2−21−2⎠1)求A在基η=−+εε2ε,η=3ε−ε−ε,η=ε+ε,η=2ε下的矩阵;11242234334442)求A的核与值域;3)在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;二、（15分）取什么值时，下列二次

2、型是正定的：t222x+x+5x+2txx−2xx+4xx123121323三、（15分）讨论λ取什么值时，下列方程有解，并求解.⎧(3λλ+++=)xxx122⎪⎨λλxx+−+=(1)x2λ123⎪⎩3(λλ++++=1)xx(λ3)x3123四、（20分）设A是一个阶矩阵，证明：n1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量nX，有X′AX=0.2）如果A是对称矩阵，且对任一个维向量nX有X′AX=0，那么A=0.五、（20分）欧氏空间V中的线性变换Α称为反对称的，如果对任意α，β∈V，有(Αα，β）=—（α，Αβ）1证

3、明1)Α为反对称的充分必要条件是：Α在一组标准正交基下的矩阵Α为反对称的；⊥2)如果V是反对称线性变换的不变子空间，则V也是.112六、（20分）设A是n级实对称矩阵，且Α=Ε,证明：存在正交矩阵T使得⎛⎞Ε0−1rΤΑΤ=⎜⎟.⎝⎠0−Εnr−*七、（15分）设V是一个线性空间，f,f,⋅⋅⋅,f是对偶空间V中非零向量，12s试证：存在α∈V，使f(α)≠0(i=1,2…,s).i八、（15分）设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基ε,ε,...,ε下12n的矩阵是一若尔当(Jordan)块.证明:1)V中包含ε

4、的A-子空间只有V自身;12)V中任一非零A-子空间都包含ε;n3)V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和.2