线性控制理论-镇定问题与渐近跟踪问题2.pdf

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1、第七章-镇定问题与渐近跟踪问题线性系统理论-钱雪军◆镇定问题：只要求闭环系统的极点位于s左半平面◆渐近跟踪问题：闭环系统的输出跟踪给定信号★信号参考：直接给定信号★模型参考：参考模型给定参考信号7.1镇定问题及其解的存在性线性系统理论-钱雪军7.1.1镇定问题的描述ìïx=Ax+Bun´nn´rm´n给定线性定常系统:í,AÎR,BÎR,CÎRïîy=Cx问题SS[状态反馈镇定问题]给定系统(A,B)和状态反馈u=Kx+Gv,求取矩阵K使得Reli(A+BK)<0,i=1,2,,n问题OS[输出反馈镇定问题]给定系统(A,B,C)和状态反馈u=Ky+Gv,求取矩阵K使得Rel

2、i(A+BKC)<0,i=1,2,,n问题DS[动态补偿器镇定问题]给定系统(A,B,C)及某正整数q>0和动态补偿器ìïz=Fz+Hyq´qq´mr´qr´mí,FÎR,HÎR,NÎR,MÎRïîu=Nz+My求取矩阵F,H,N,M使得éA+BMCBNùReli(êú)<0,i=1,2,,n+qêëHCFúû7.1.2状态反馈镇定问题的解的存在性线性系统理论-钱雪军定义7.1.1给定线性定常系统,状态反馈镇定问题有解,则称系统可稳,或矩阵(A,B)可稳.定义7.1.2系统的某极点或振型称为稳定,如果它具有负实部.命题7.1.1线性系统理论-钱雪军命题7.1.1线性定常系统

3、的不能控振型集等同于其输入解耦零点集.x=Ax+Bu系统输入解耦零点为:rank[sI-AB]

4、2BcüïrankísI-êúêúý=rankíýïîêë0Acúûêë0úûïþïî0sI-Ac0ïþ矩阵变换ìïsI-AcBc-A12üï¾¾®¾¾¾rankíýïî00sI-Acïþ矩阵变换ìï0I-A12üï矩阵变换ìï0I0üï¾¾®¾¾¾rankíý¾¾®¾¾¾rankíýïî00sI-Acïþïî00sI-Acïþ系统输入解耦零点命题1.3.4ìï0I0üï要使rankí00sI-Aý

5、,(A,B),有1122-1A2=PA1P,B2=PB1如果存在K,使得A+BK稳定，则有1111-1-1-1A2+B2K2=PA1P+PB1K2=P(A1+B1K1)P,K2=K1P可见A+BK稳与A+BK定具有相同的特征值。111２２２定理7.1.1线性系统理论-钱雪军AÎRn´n,BÎRn´rx=Ax+Bu定理7.1.1设，则系统或(A,B)可稳的充要条件是该系统一切不能控振型或输入解耦零点（不能控子系统）均为稳定。证明线性系统理论-钱雪军证明：对系统进行能控性分解，得到éAcA12ùéBcùx=êúx+êúuêë0Acúûêë0úû引入状态反馈增益矩阵K=[KK]，则

6、有12æçéAcA12ùéBcùö÷det()sI-A-BK=detçsI-êú-êú[]K1K2÷èêë0Acúûêë0úûøésI-Ac-BcK1-A12-BcK2ù=detêú=det(sI-Ac-BcK1)×det(sI-Ac)êë0sI-Acúû由于(A,B)能控，所以存在K使得多项式det(sI-A-BK)稳定，CC1CC1从而系统稳定的充要条件是多项式det(sI-Ac)稳定。7.2线性系统的状态反馈镇定律设计线性系统理论-钱雪军7.2.1能控条件下镇定律设计定理7.2.1设(A,B)能控，则T-1T-AtT-ATtu=-BW(T)x,W(T)=òeBBedt0为系

7、统的一个镇定律。（W(T)为Gram矩阵，当A,B能控时，为对称正定）证明线性系统理论-钱雪军T-1T-AtT-ATtu=-BW(T)x,W(T)=òeBBedt0证明：系统在上述控制律作用下的闭环系统矩阵为T-1Ac=A-BBW(T)从而有TTTTAcW(T)+W(T)Ac=AcW+(AcW)=AW-2BB+WATTT-AtT-At-AtT-AtTT=ò[AeBBe+eBBeA]dt-2BB0Td-AtT-ATtT=-ò[eBBe]dt-2BB0dtT-ATT-ATT=-eBB