利用龙格库塔法求解郎之万方程.doc

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1、利用龙格-库塔法求解朗之万方程一、待解问题布朗颗粒是非常微小的宏观颗粒，其直径的典型大小为10-7~10-6m。颗粒不断受到液体介质分子的碰撞，在任一瞬间，一个颗粒受到介质分子从各个方向的碰撞作用力一般来说是互不平衡的，颗粒就顺着净作用力的方向运动，由于分子运动的无规性，施加在颗粒上的净作用力涨落不定，力的方向和大小都不断发生变化，颗粒就不停地进行着无规则的运动，描述这一过程的理论称为朗之万理论。设颗粒的质量为m,在时刻t颗粒的坐标为r(t)，颗粒受到粘滞阻力，其中为粘滞系数；还受到一个周围颗粒给它的涨落力，涨落力随时间t变化，可正可负，其平均值为0;此外颗粒还会受一个势力。根据牛顿

2、第二定律，颗粒运动的朗之万方程为：对于这样的二阶微分方程，通常是化为一阶微分方程组来求解，由于，得到在这个化简的朗之万方程中，我们期望得到在某一时刻位置和速度的关系。二、物理机理1.龙格-库塔法的基本思想及一般形式设初值问题，由微分中值定理可知，必存在，使设，并记，则其中称为在上的平均斜率，只要对平均斜率提供一种算法，上式就给出了一种数值解公式，例如，用代替，就得到欧拉公式，用代替，就得到向后欧拉公式，如果用的平均值来代替，则可得到二阶精度的梯形公式。可以设想，如果在上能多预测几个点的斜率值，用它们的加权平均值代替，就有望的到具有较高精度的数值解公式，这就是龙格-库塔法的基本思想。龙

3、格-库塔公式的一般形式：（1）其中是在点的斜率预测值；均为常数，选取这些常数的原则是使（1）式有尽可能高的精度。2、四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法的表达形式如下：（2）其中有13个待定系数，我们希望适当的选取这些系数使公式的精度尽可能高，先将按照如下二元函数泰勒级数展开，取到项，再将展开后的值代入（2）式得到的表达式。再用泰勒公式将展开，取到项，得到由于局部截断误差，泰勒级数的系数匹配，使局部截断误差为，得到得到11个方程和13个未知量，因此需要补充两个条件，求解得到：最后得出经典的四阶龙格-库塔公式：三、数值计算方案下面利用四阶龙格库塔法来求解朗之万方程，在前面我们已经推算出一阶

4、微分方程组：取初值为，时间t的步长为h，得到：由于已知初值为，可以推算出在时刻的的大小，由此不停的迭代，可以知道在任意时刻的的大小，进而可以分析颗粒运动的特性。四、流程图输入,取t的步长为h