江苏专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明数学归纳法7.7数学归纳法教案含解析20190831148.docx

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1、§7.7　数学归纳法考情考向分析　高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示　n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是

2、1.如证明n边形的内角和时，n≥3.2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示　不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　)(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)(4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.

3、(　√　)16题组二　教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证_____．答案　1＋＋<2解析　∵n∈N*，n>1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝.3．[P103T13]在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．答案　an＝解析　当n＝2时，＋a2＝2×3×a2，∴a2＝；当n＝3时，＋＋a3＝3×5×a3，∴a3＝；当n＝4时，＋＋＋a4＝4×7×a4，∴a4＝；故猜想an＝.4．[P105T13]已知a1＝，

4、an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为________．由此猜想an＝________.答案　，，，　解析　a2＝＝＝＝，同理a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，又a1＝＝，符合以上规律．故猜想an＝.16题组三　易错自纠5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是________．答案　1＋a＋a2解析　当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加

5、的项数是__________．答案　2k解析　运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*)．当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和．当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项．题型一　用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．证明　①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋

6、1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝16＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n∈N*等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明　①当n＝1时，等式左边＝1－＝＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么，当n＝k＋1时，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N*均成立．思维升华用数学归纳法证明等式时应注意：(1)明确初始值n0的取值；(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，明确变形

7、目标；(3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二　证明不等式例1若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))(n∈N*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn

8、PQk＋1的方程为y－5＝·(x－4)．又f(xk＋1)＝x－2xk＋1－3，16代入上式，令