数值计算方法63.pptx

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1、第六章逐次逼近法6.3非线性方程的迭代法数值计算方法I26.3非线性方程的迭代法方程是在科学研究中不可缺少的工具方程求解是科学计算中一个重要的研究对象几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程的求解公式但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法因此,研究非线性方程的数值解法成为必然3设非线性方程--------(1)本节主要研究单根区间上的求解方法4一、简单迭代法(基本迭代法)--------(2)将非线性方程(1)化为一个同解方程继续--------(3)称(3)式为求解非线

2、性方程(2)的简单迭代法5则称迭代法(3)收敛,否则称为发散--------(4)如果将(2)式表示为与方程(2)同解收敛6例1.解:(1)将原方程化为等价方程发散7显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程8仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?迭代函数的构造有关9定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收敛

3、性)10证:由条件(1)由根的存在定理,由11由微分中值定理12证毕.13定理1指出,由(6)式,只要因此,当迭代就可以终止,只要构造的迭代函数满足此时虽收敛但不一定是唯一根--------(8)14例2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭代函数15d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于

4、d7

5、=0.1000e-006<1

6、e-6因此原方程的解为x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.090525116由定理1的(7)式出,迭代法收敛就越快定义1.--------(9)17不可能直接确定18定理2.19例3.为线性收敛证明:所以20例4.至少是平方收敛的由定义121注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的22二、Newton迭代法如果将非线性方程令化为等价方程如

7、果令即则23于是取--------(10)--------(11)--------(12)(12)式称为Newton迭代法参见例4，可知Newton迭代法至少平方收敛局部收敛性24例5.用Newton迭代法求方程的根:解:由Newton迭代法x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553迭代四次精度达10-8Newtonddf.m25Newton迭代法需要求每个迭代点处的导数复杂！--------(12)--------(13)这种格式称为

8、简化Newton迭代法精度稍低三、Newton迭代法的变形26则Newton迭代法变为--------(14)这种格式称为弦截法收敛阶约为1.618几何意义27例6.用简化Newton法和弦截法解例(5)中方程的根，解:由简化Newton法并和Newton迭代法比较由弦截法Newtonddf.m28x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.

9、3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553简化Newton法由弦截法要达到精度10-8简化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次29无论前面哪种迭代法：Newton迭代法简化Newton法弦截法Newton迭代法x0=2x1=-3.54x2=13.95x3

10、=-279.34x4=122017是否收敛均与初值的位置有关如x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.9631e-010x5=0收敛发散30--------(15)这种方法称为Newton下山法，31例7.解:1.先用Newton迭代法x4