函数的最大值与最小值.ppt

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1、2.5函数的最大值与最小值联盛中学刘贵有一、复习引入①如果在x0附近的左侧f/（x）>0,右侧f/(x)<0,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f/(x)<0,右侧f/(x)>0,那么,f(x0)是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.1.当函数f(x)在x0附近有定义,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:二、新课—函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上

2、的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-

3、0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一

4、的极值,则此极值必是函数的最值.四、实际应用1.实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.例1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底

5、边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0

6、由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3时,圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用.xy例1:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0

7、AB

8、=4x-x2,

9、BC

10、=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=

11、AB

12、

13、BC

14、=2x3

15、-12x2+16x(0