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1、第3章平行四边形3.1.4三角形的中位线平行四边形的性质与判定性质判定边角对角线推论平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等平行四边形的①对角相等②邻角互补平行四边形的对角线互相平分夹在两条平行线间的平行线段相等①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形两组对角分别相等的四边形对角线互相平分四边形BDCAOBDCAMNPQ回顾与思考挑战分割三角形1.你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?2.连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?3.四个全等的三角形.可剪纸验证哦！4.你能从理论上证明上面的结论吗?猜一猜
2、,三角形中位线有什么性质?BCAD··E·F做一做三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．EDFACB三角形有三条中位线∵D、E分别为AB、AC的中点∴DE为△ABC的中位线同理DF、EF也为△ABC的中位线注意三角形的中位线和三角形的中线不同二、三角形的中位线有什么性质？如图，EF是△ABC的一条中位线．1、量一量EF，BC的长是多少？你能作出什么猜测？探究2、你能从图中猜测EF∥BC吗？即:三角形的中位线等于第三边的一半.EF∥BC上述这些猜测正确吗？ABCEF已知：如图，DE是△ABC的中位线.求证：证明：如图，以点E为旋转中心，把△
3、ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到△CFEABCDEF∴△ADE≌△CFE.∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF∴AB∥CF（BD∥CF）又∵D是AB的中点∴AD=BD=CF,∴四边形BCFD是平行四边形∵BD∥CFBD=CF又∵DE=EF=0.5DF∴DF=BCDF∥BC（DE∥BC）∴DE=0.5BC即三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.三角形中位线的性质定理：三角形中位线的性质证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.∵AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ABC≌△CDA(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F.∴B
4、D∥CF.∵AD=BD,∴BD=CF.DEBCAF∴四边形ABCD是平行四边形.∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)另证三角形中位线性质的运用利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.求证:△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等.BCADEF例2:已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D，
5、E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。ABCDEFNM求证：DE=EF证明：∵△ABM与△ACN△是等边三角形∴AB=AMAC=AN∠1=∠2=60°∴△ABN≌△AM（SAS）∴∠1+∠3=∠2+∠3即∠BAN=∠MAC∴BN=MC（全等三角形的对应边相等）∵D,E,F分别是MB，BC，CN的中点∴EF=½BNDE=½MC∴DE=EF（三角形的中位线等于第三边的一半）∴EF,DE分别是△BCN与△BCM的中位线连接BN与CM练一练:(3)若∠B=40O，则∠EFD=______ABCEFD如图，已知△ABC，D、E、F分别是BC、AB、AC边
6、上的中点。(1)若△ABC的周长为18cm，它的三条中位线围成的△DEF的周长是________4009cm(2)图中有_____个平行四边形3一个运用中位线的重要“模型”如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?猜想:四边形EFGH是平行四边形.这个结论对所有的四边形ABCD都成立.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG
7、,EF=HG.ABCHDEFG已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四边形EFGH是平行四边形.做一做一个运用中位线的重要“模型”改变四边形ABCD的形状，其它条件不变，□EFGH的形状会有什么变化？②四边形ABCD是矩形；③在四边形ABCD是菱形；④四边形ABCD是正方形；⑤四边形ABCD是梯形；⑥四边形ABCD是等腰梯形；ABCHDEFG①四边形ABCD是平行四边形；⑦四边形ABCD是对角线互相垂直的行四边形；⑧四边形ABCD是对角线相等的行四边形；⑨四边形ABCD是对角线相等且互相垂直的行四边形.做
8、一做1.在例3中，设四边形ABCD的两条对角线AC，
