《定积分的应用》PPT课件.ppt

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1、第十章   定积分的应用§1  平面图形的面积教学内容：平面图形面积的计算教学目的：理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基本思想熟记平面图形面积的计算公式。一．  直角坐标系下平面图形的面积：由定积分的几何意义，连续曲线与直线：轴所围成的曲边梯形的面积为：1a0xybbocdexyoa2x—区域y—区域yxoabxyoab3如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和

2、。如右下图：上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD构成；下曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于y轴的直线，则把平面区域分成4个x—型区域。yxEabABCDFGo4所给的区域不是一个规范的x-域, 如图需将其切成两块, 即可化成x-形区域的面积问题。第一块的面积：AB,第二块的面积：,总面积：5二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示6且：在上连续，，（对于或 的情况类似讨论），则计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定

3、通常有两种方法：1）具体计算时常利用图形的几何特征2）从参数方程定义域的分析确定7例3 求摆线   的一拱与x轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分)由图看出,对应原点(0,0),对应一拱的终点,所以其面积为:8三、极坐标下平面图形的面积ox和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是1）利用图象；2）分析定义域（见下页示图）910例4求双扭线所围成的平面图形的面积xy11§2  由平行截面面积求体积1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式上节我们学习了平面图形面积的计算，还利

4、用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式:现在我们看右图一个空间立体，假设我们知道它在x处截面面积为A(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？xA(x)12如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积由此可得:这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x),常用的方法先画出草图，分析图象求出A(x).例1 求两圆柱:所围的立体体积 .13解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在

5、第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：14该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正方形,所以截面面积。152、旋转体体积公式16yoxyxoyxo1718§3.  平面曲线的弧长与曲率本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式一、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长的计算公式。x=A=Byo192021xy22xy23x0y24§4旋转曲面面积一、微元

6、法252627yxbao28xyo星形线29§5定积分在的物理的某些应用学习目标：能够运用定积分解决物理问题学习要点：引力，变力沿直线所做的功学习基础：微元法，分部积分法，换元法定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。这里介绍几个有代表性的例子。1变力沿直线所作的功问题从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体30移动了距离s时,力F对物体所作的功是 ， 如果物体在运动过程中所受到的力是变

7、化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功。313233343536