高等数学第十章 曲线积分与曲面积分.doc

《高等数学第十章 曲线积分与曲面积分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十章曲线积分与曲面积分10.1曲线积分一基本概念定义1第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）平面曲线的积分：（2）空间曲线的积分：其中表示分割曲线的分法的细度，即段曲线弧长的最大值，或是第段弧上的任意一点。物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线的质量，其中被积函数或表示曲线的线密度。定义2第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）平面曲线的积分：（2）空间曲线的积分：其中表示分割曲线的分法的细度，即段的最大弧长，是第段弧上的任意一点。物理意义：第二类曲线积分表示变力沿曲线所作的功，被积函数或表示

2、力在各坐标轴上的分量。二基本结论定理1（第一类曲线积分的性质）（1）无向性．（2）线性性质(1)；(2)．（3）路径可加性曲线分成两段和（不重叠），则．（4）弧长公式(表示曲线的弧长)．（5）恒等变换积函数可用积分曲线方程作变换．（6）奇偶性与对称性如果积分弧段关于轴对称，存在，则16其中点是曲线弧段与轴的交点．定理2（第二类曲线积分的性质）（1）有向性．（2）线性性质(1)；(2)．（3）路径可加性曲线分成两段和（不重叠），则．定理3（第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）其中是曲线上的点的切

3、线的方向余弦，且一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线是直线时，则切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的转换。定理4（格林公式）设是由分段光滑的曲线围成，函数及其一阶偏导数在上连续，则有其中是围成区域的正向边界曲线。三基本方法1计算第一类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：基本方法——转化为定积分（1）用参数方程给出的积分曲线：，，，则（2）用一般方程给出的积分曲线：，，则16（3）用极坐标方程给出的积分曲线：，，则例1计算，上半圆周。解（方

4、法1）曲线的参数方程：，，，于是有。（方法2）曲线的一般方程：，，，于是有。令，则。例2计算，的第一象限部分。解令，则积分曲线的极坐标方程为：（第一象限部分）,，，。于是有。方法二：基本技巧——利用第一类曲线积分性质例3计算，其中。解根据曲线积分的线性性质，有。根据性质（4）和（5），，根据奇偶性和对称性，，于是。16例4计算，与相交的圆周。解由于积分曲线关于的具有轮换对称性，则有；于是，利用积分曲线方程化简被积函数，有，，所以。注1计算第一类曲线积分，有基本方法和基本技巧，在具体问题中可以兼顾

5、考虑。但是在有些问题中，基本方法是没有办法解决的，这可能有两种情况：一是可以建立积分曲线参数方程，转化为定积分，但没办法计算这个定积分；二是很难建立积分曲线参数方程，如例4。2计算第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：基本方法——转化定积分设的平面曲线：其参数方程：，起点和终点对应的参数取值分别是和，则设的空间曲线：其参数方程：，起点和终点对应的参数分别是和，则注2第二类曲线积分转化为定积分，积分的下限是积分曲线的起点对应的参数取值，上限是积分曲线的终点对应的参数取值，所以有时可能下限大于上

6、限。方法二：基本技巧——利用格林公式转化为二重积分（平面曲线）设曲线是闭合正向逐段光滑曲线，，以及一阶偏导数在围成的区域内连续，则方法三：基本技巧——利用斯托克斯公式转化为曲面积分（空间曲线）设有向分段光滑闭合曲线张成分片光滑有向曲面，具有一阶连续偏导数，则16其中方向和法线方向满足右手系，，，是曲面的法向量的方向余弦。注3当曲面是平面时，方向余弦是常量。于是，当空间曲线比较复杂时，而曲线在某个平面上，即张成(围成)的曲面是一个平面，我们常常将第二类空间曲线积分转化为曲面积分。注4利用格林公式一

7、定要平面曲线，并且是闭合的。对非闭合曲线积分，如果欲用格林公式，可以补充曲线段。通常情况下，补充的曲线段是平行于坐标轴的线段，这样有利于计算在补充曲线段上的曲线积分。注5计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法：（1）平面曲线积分：将曲线积分转化为定积分或重积分；（2）空间曲线积分：将曲线积分转化为定积分或曲面积分。例5计算，其中为上半椭圆：，取顺时针方向．解曲线的参数方程：，，，因为顺时针，于是积分弧段的起点和终点对应的参数分别是和，所以．根据三角函数积分公式和性质

8、，．于是有．例6计算，其中是从点到点的线段．解直线的方程为．于是，积分曲线的参数方程可表示为：，，，参数从到。于是．例7计算，其中是从到的上半圆周。解。16例8计算，其中是与（）的交线，曲线是逆时针方向。解积分曲线参数方程：，，，所以。例9计算曲线积分，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，其方向与三角形的上侧满足右手法则．解曲线张成曲面是三角形，利用斯托克斯公式，得．在面上的投影区域：，．利用矢量点积法，积分曲面法向量为，所以．题型平面曲线积分与路径无关的条件设是平面单连通有界闭区域