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《高一第二学期数学练习五必修五基本不等式含答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、棉北中学高一数学练习五典题精讲例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅
2、当x=-x,即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.∴y=x+≥2.当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.∴y=x+≤-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x
3、+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴≥2=6.当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时
4、，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+
5、≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f
6、(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为xm，宽为ym，则（1）是在4x+6y=3
7、6的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤，即S≤.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9-y)y=(6-y)y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.∴S≤［］2=.当且仅当6-y=y,即y=3时，
8、等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎
