应用高等数学 教学课件 ppt 作者 第二版 张克新电子教案 9-3.ppt

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1、9.3拉普拉斯逆变换及性质以上主要讨论了由已知函数求它的象函数的问题，但在实际中常会碰到已知象函数反过来求其象原函数的情况.这就是下面将要介绍的拉普拉斯逆变换,通过它可以将象函数的代数方程解还原为微分方程的解.9.3拉普拉斯逆变换及性质9.3.1拉普拉斯逆变换的概念和性质9.3.2简单象函数的拉普拉斯逆变换9.3.3较复杂象函数的拉普拉斯逆变换9.3.4拉普拉斯变换的应用9.3.1拉普拉斯逆变换的概念和性质1.拉普拉斯逆变换若为的拉普拉斯变换,则称为的拉普拉斯逆变换,记作。2.性质拉普拉斯逆变换也具有与拉普拉斯变换类似的性质.(1)线性性质若,且为常数,则(2)平移性质若,则(常数

2、)；(为常数).9.3.2简单象函数的拉普拉斯逆变换例1求下列象函数的拉普拉斯逆变换:（1）；（2）；（3）。解（1）由表9-1中的变换6知，所以(2)由表9-1中的变换11知,所以(3)由,再根据线性性质,并结合查表,得9.3.3较复杂象函数的拉普拉斯逆变换例2求的拉普拉斯逆变换.解设，去分母，得令，得:又令,得:于是故例3求的拉普拉斯逆变换.解设,去分母,得令,得:又令，得：再比较项系数，得：于是故从上面的例子可以看出,对于比较简单的象函数,其拉普普拉斯逆变换可以直接利用性质和通过查表求得,或经简单的变形,然后查表求得.但对于比较复杂的象函数,要先用部分分式法将象函数分解为几个

3、分式的和,然后再求之.9.3.4拉普拉斯变换的应用由于拉普拉斯变换提供了求解初值问题的一种简便方法，所以拉氏变换在各种线性系统理论分析中的应用十分广泛。下面我们介绍利用拉氏变换求解线性微分方程的方法。线性微分方程及微分方程组解线性微分方程的基本思想如下：1.解常系数线性微分方程（1）初值问题例4求满足初始条件的特解。解设对方程两边取拉氏变换，根据拉氏变换的微分性质并考虑到初始条件，可得像方程于是取逆变换，得。（2）边值问题例5求满足的特解。解像方程为于是取逆变换，得用代入上式可得即，所以。以上各例如果用求解常微分方程的古典方法去做，就会发现运算太繁琐了，对于此较特别的方程（如非齐次

4、项且具有跳跃点时），求解起来就不只是繁琐而是困难了。应用拉普拉斯变换，我们将微分的运算转化为代数运算，并将初始条件和边界条件一并考虑，借助拉氏变换表，求解微分方程变得异常简便.