备战2014高考数学真题集锦：《向量的运算》.doc

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1、【三年真题重温】1.【2011新课标全国理，10】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：：；：；：；：．其中的真命题是()A．，B．，C．，D．，2.【2011新课标全国文，13】已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则．【答案】【解析】本题考查向量的基本运算和性质．，展开易得．3.【2010新课标全国文，2】a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式.因a＝(4,3)，b＝(

2、x,y),2a＋b＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12.cos=4.【2012新课标全国】已知向量夹角为，且；则【答案】【解析】依题意，可知【命题意图猜想】1.2011年新课标高考理对向量的考查体现在求向量的夹角和模的运算，难度中等，文科则表现在向量的垂直关系的应用，较为简单；2010年理科没有涉及向量问题，而文科考查以向量的坐标运算为依托，考查了向量的夹角问题，也为简单题.2012年文理为同一道题目，求向量的模，考查向量的数量积公式和模的运算技巧，难度较低，中规中矩.综上可知，近三年对本热点

3、的考查整体较为简单，均未涉及向量的几何运算，故猜想2013年高考题可能给出向量等式，然后借助其几何含义，利用数形结合思想或可借助坐标系将向量问题坐标化，探求一些最值问题，试题难度会加大.2.从近几年的高考试题来看，向量的坐标运算及向量共线的坐标表示是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，属于中、低档题目，常与向量的数量积运算等交汇命题，主要考查向量的坐标运算及向量共线条件的应用．同时又注重对函数与方程、转化、化归等思想方法的考查．预测2013年高考仍将以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示为主要考点，重点考查运算能力

4、与应用能力．3.通过对近几年高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．预测2013年高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向．【最新考纲解读】1．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算及其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算

5、及其意义，理解两个向量共线的含义．(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．2．平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义．(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．3．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【回归课

6、本整合】1、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝.规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量.（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0.（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝

7、－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④.2、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.（2）坐标运算：设，则：①向量的加减法运算：，.②实数与向量的积：.③若，则，即一个向量的坐

8、标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：.⑤向量的模：.3、向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同