RLC电路与常微分方程的.ppt

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1、第八章RLC电路与常微分方程的解法8.1RC电路与常微分方程的欧拉解法RC电路:K21RC先把开关K接通“1”端,电容C充满电后再把开关K接通“2”端,则这时电容C放电过程满足方程:即电容C上的电量是时间t的函数,满足以上微分方程.如果设:=RC,t=0时刻电容所带电量为Q0则有:考虑数值微分问题:已知:求f(x)在xn点的导数.可以:或:微分方程化为一般形式:把时间t等间隔离散化:其中:做如下近似:由方程得:即:记:则得到解微分方程的欧拉法递推公式:对于RC电路:令得到:方程的解析解:微分方程化为一般形式:把时间t等间隔

2、离散化:其中:欧拉(Euler)差分公式:由方程得:即:记:则得到解微分方程的欧拉法递推公式:对于RC电路:例如：得到:>>rc(1,6,1,10);欧拉法也可解释为Q(t)在tn处的泰勒展开:取线性部分:欧拉方法的截断误差:例:写出解如下一阶常微分方程的欧拉公式:得:8.2RLC电路和改进的欧拉近似法RLC电路图:LRCVaK根据基尔霍夫定律:由于:得:由于:所有:欧拉法:把二阶微分方程化成一阶微分方程组:其中t是自变量,Q和I随着t的改变而改变.function[Q,I,tt]=rlc(Q0,I0,con,T,dt)%R

3、LC电路欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;forn=1:length(tt)-1Q(n+1)=Q(n)+dt*I(n);I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L;endplot(tt,Q,'r',tt,I,'b');>>rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);>>rlc(1,0,[1,5,1,5],50,0.1);2.向后的欧拉方法方法分为两步:预估:(一步)校正:或者(k+1步)校正:f

4、unction[Q,I,tt]=rlc1(Q0,I0,con,T,dt)%RLC电路向后欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;forn=1:length(tt)-1Q1=Q(n)+dt*I(n);I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L;Q(n+1)=Q(n)+dt*I1;I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I1-Q1/C)/L;endplot(tt,Q,'r--',tt,I,'b--');>>rlc1(1,

5、0,[1,1,1,5],15,0.1);>>holdon>>rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);3.改进的欧拉法方法分两步:预估:(一步)校正:或(k+1步)校正:function[Q,I,tt]=rlc2(Q0,I0,con,T,dt)%RLC电路改进欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;forn=1:length(tt)-1Q1=Q(n)+dt*I(n);I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/

6、L;Q(n+1)=Q(n)+dt*(I1+I(n))/2;I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*(I1+I(n))/2-…(Q1+Q(n))/2/C)/L;endplot(tt,Q,'r:',tt,I,'b:');RC电路:向后的欧拉法:预估:校正:改进的欧拉法:预估:校正:function[Q1,Q2,Q3,tt]=rc3(Q0,T,dt,tao)%RC电路欧拉解法Q1(1)=Q0;Q2(1)=Q0;Q3(1)=Q0;tt=0:dt:T;forn=1:length(tt)-1Q1(n+1)=Q1(n)-dt*Q1(n)/

7、tao;endforn=1:length(tt)-1Q=Q2(n)-dt*Q2(n)/tao;Q2(n+1)=Q2(n)-dt*Q/tao;endforn=1:length(tt)-1Q=Q3(n)-dt*Q3(n)/tao;Q3(n+1)=Q3(n)-dt*(Q+Q3(n))/2/tao;endQa=Q0*exp(-tt/tao);plot(tt,Qa,'b',tt,Q1,'r-',tt,Q2,'r--',tt,Q3,'r:');>>rc3(1,6,1,10)一般微分方程:向后的欧拉法:改进的欧拉法:8.3龙格-库塔(R-

8、K)方法对于微分方程:根据微分中值定理:即:Q(t)tntn+1用tn处Q(t)的导数代替处导数f(,Q()),则为欧拉法:用tn+1处Q(t)的导数的估计值代替处导数f(,Q()),则为向后的欧拉法:即:用tn和tn+1处Q(t)的导数的估计值的平均代替处导数f(,Q(