2011高考数学典型例题-圆锥曲线.doc

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1、典型例题一例1如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（A）曲线上的点的坐标都满足方程．（B）坐标满足方程的点有些在上，有些不在上．（C）坐标满足方程的点都不在曲线上．（D）一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程的点不一定都在曲线上，易知答案为D．典型例题二例2说明过点且平行于轴的直线和方程所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲

2、线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点且平行于轴的直线的方程为，因而在直线上的点的坐标都满足，所以直线上的点都在方程表示的曲线上．但是以这个方程的解为坐标的点不会都在直线上，因此方程不是直线的方程，直线只是方程所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3　说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程

3、，例如点到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程．因此不能说方程就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例4曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于的一元二次方程的判别式分别满足、、．解：由得∴∴

4、当即，即时，直线与曲线有两个不同的交点．当即，即或时，直线与曲线有一个交点．当即，即或时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于(或)的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5若曲线与有两个公共点，求实数的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两

5、个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由得：∵，∴，即．要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：又∵∴解之得：．∴所求实数的范围是．解法二：的曲线是关于轴对称且顶点在原点的折线，而表示斜率为1且过点的直线，由下图可知，当时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“”改为呢，请自己探求．典型例题六例6已知，其中，，，则角平分线的方程是(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程

6、概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段．解：不对，因为内角平分线是一条线段，而方程的图形是一条直线．如点坐标适合方程，但点不在内角的平分线上．综合上述内角平分线为：．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7判断方程所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程可得：，即∴方程的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程等价于且，即，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8如图所示，已知、是两个

7、定点，且，动点到定点的距离是4，线段的垂直平分线交线段于点，求动点的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结，则，由此，即动点到两定点，距离之和为常数．解：过，两点的直线为轴，，两点的中点为坐标原点，建立直角坐标系∵，∴，两点坐标分别为，．连结．∵垂直平分线段，∴，．设点，由两点距离公式得，化简方程，移项两边平方得(移项)．两边再平方移项得：，即为所求点轨迹方程