高考圆锥曲线典型例题(必考)

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1、9.1　椭　圆典例精析题型一　求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】故所求方程为＋＝1或＋＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上

2、，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　.＋＝1.题型二　椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e的取值范围是[，1).(2)＝mnsin6

3、0°＝b2，【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如

4、PF1

5、·

6、PF2

7、≤()2，

8、PF1

9、≥a－c.【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆(x－4)2＋y2＝上的点，则

10、PQ

11、＋

12、PR

13、的最小值是　　　　.【解析】最小值为9.题型三　有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦

14、点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且

15、AF2

16、，

17、AB

18、，

19、BF2

20、成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足

21、PA

22、＝

23、PB

24、，求E的方程.(1).(2)为＋＝1.【变式训练3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是(　　)A.B.C.D.【解析】选B题型思　有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(

25、2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．.【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在

26、，请说明理由．总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，

27、另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=()A.B.2C.D.3选A.2（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】B4.【2012高考新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）【

28、答案】C5【2012高考四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。【答案】36【2012高考江西理13】椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】【例4】【解析】(Ⅰ)：．(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∴．设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，入椭圆：．显然