角形单元的有限元法.ppt

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1、第五章三角形单元的有限元法5.1基本思想把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。○○①②③④⑤⑥⑦⑧12345678910P576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧弹性悬臂板剖分与集合单元、节点需编号（1-1）2、单元内任意点的体积力列阵qV（1-2）1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qsijmxyijmxyqV·qs·5.2基本力学量矩阵表示图1-1ijmxy·uv3、单元内任意点的位移列阵f（1-3）4、单元内任意点的

2、应变列阵（1-4）ijmxy·5、单元内任意点的应力列阵（1-5）6、几何方程（1-6）将上式代入式(1-4），ijmxy·（1-4）7、物理方程矩阵式（1-7）式中E、——弹性模量、泊松比。上式可简写为（1-8）其中对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：(1-9）矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9）中的E换为，换为。(1-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描述。但结构类型不同，力学性态(应力分量、应变分量)有区别，弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。5.3位移函数和形函数1、位移函数概念

3、由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图1-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。图1-2是一个三节点三角形单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两

4、个分量：（1-10）一个三角形单元有3个节点（以i、j、m为序），共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：图1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函数设定本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：(1-12）式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、a3、a5、a6代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。(1-11）ijmuiujumvivjvmxy·uv选取位移函数应考虑的问题（1）位移函数的个数等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应

5、，有2个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角

6、形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。（7）位移函数的形式一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)③④254136①②对任一单元，如③单元，取位移函数：①、②、③、④单元的位移函数都是可以看出：位移函数在单元内是连续的；以③、④的边界26为例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，

7、此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。3、形函数形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。(1-13）（1）形函数确定现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数a1、a2、…、a6。设节点i、j、m的坐标分别为（xi、yi）、（xj、yj）、（xm、ym），节点位移分别为（ui、vi）、（uj、vj）、（um、vm）。将它们代入式（1-12），有从式(1-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为(1-14）式中，A为三角形单元的面积，有(1-15）特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是