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时间：2020-03-25
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1、*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分含参变量的积分第十章一、被积函数含参变量的积分上的连续函数,则积分确定了一个定义在[a,b]上的函数,记作x称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质定理1.(连续性)上连续,则由①确定的含参积分在[a,b]上连续.—连续性,可积性,可微性:①证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有就有这说明定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分由连续性定理易得下述可积性定理:定理2.(可积性
2、)上连续,同样,推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积顺序,即定理3.(可微性)都在证:令函数,因上式左边的变上限积分可导,因此右边且有此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的.例1.解:由被积函数的特点想到积分:例2.解:考虑含参变量t的积分所确定的函数显然,由于故因此得二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域上的连续函数,则也是参变量x的函数,其定义域为[a,b].利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.定理4.(连续性)上连
3、续,则函数证:令则由于被积函数在矩形域上连续,由定理1知,上述积分确定的函数定理5.(可微性)都在中的可微函数,则证:令利用复合函数求导法则及变限积分求导,得例3.解:例4.分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得即同理于是作业P1791(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)
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