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1、*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分机动目录上页下页返回结束含参变量的积分第九章一、被积函数含参变量的积分上的连续函数,则积分确定了一个定义在[a,b]上的函数,记作x称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质定理1.(连续性)上连续,则由①确定的含参积分在[a,b]上连续.—连续性,可积性,可微性:①机动目录上页下页返回结束证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有就有这说明机动目录上页下页返回结束定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分机动目
2、录上页下页返回结束由连续性定理易得下述可积性定理:定理2.(可积性)上连续,同样,推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积顺序,即机动目录上页下页返回结束定理3.(可微性)都在证:令函数,机动目录上页下页返回结束因上式左边的变上限积分可导,因此右边且有此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的.机动目录上页下页返回结束例1.解:由被积函数的特点想到积分:机动目录上页下页返回结束例2.解:考虑含参变量t的积分所确定的函数显然,由于机动目录上页下页返回结束故因此得机动目录上页下页返回结束二、积分限含参变量的积分
3、在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域上的连续函数,则也是参变量x的函数,其定义域为[a,b].利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.机动目录上页下页返回结束定理4.(连续性)上连续,则函数证:令则由于被积函数在矩形域上连续,由定理1知,上述积分确定的函数定理5.(可微性)都在中的可微函数,则证:令机动目录上页下页返回结束利用复合函数求导法则及变限积分求导,得机动目录上页下页返回结束例3.解:机动目录上页下页返回结束例4.分小时,函数的n阶导数存在,且证:令在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得机动目录上页下页返回结束
4、即同理于是作业(*习题9-5)P1231(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)习题课目录上页下页返回结束
