清华大学电路原理课件-18.ppt

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1、第18章状态变量法18.1状态变量和状态方程18.2状态方程的列写18.3状态方程的时域解析解法本章重点18.4状态方程的拉普拉斯变换法求解本章重点状态方程的求解状态方程的建立返回目录18.1状态变量和状态方程一、状态变量（statevariable）[x]分析动态过程的独立变量。选定系统中一组最少数量的变量[x]=[x1,x2,…,xn]T，如果当t=t0时这组变量[x(t0)]和tt0后的输入（激励）[e(t)]为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。[x(t0)][e(t)]tt0称这一组最少数目的

2、变量为状态变量。[y(t)]tt0确定说明：[x]表示状态变量的列向量。为区分符号，以下用[·]表示向量或矩阵。已知输出变量:uL,iC,uR,iR。选uC，iL为状态变量。解由uL(0)=7ViC(0)=-1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V例RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2推广至任一时刻t1uL(t1)=e(t1)-uC(t1)uR(t1)=uC(t1)iC(t1)=iL(t1)-uC(t1)/RiR(t1)=uC(t1)/R可由可见当t=t1时uC，iL和tt1后的输入e(t)为已知

3、，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题：如何求出t1时刻的状态变量。二、状态方程（stateequation）求解状态变量的方程。设选uC,iL为状态变量列微分方程改写为LRCe(t)+-uCiL+-iC+-uL称为状态方程。矩阵形式[x]=[x1x2xn]T式中一般形式nr状态方程的特点：（1）是一阶微分方程组；（2）左端为状态变量的一阶导数；（3）右端仅含状态变量和输入量。n1r1三、输出方程（outputequation）特点：（1）代数方程；（2）用状态变量和输入量表示输出量。一般形式[Y

4、(t)]=[C][X(t)]+[D][v(t)]uL=e(t)-uC(t)uR(t)=uC(t)iC(t)=iL(t)-uC(t)/RiR(t)=uC(t)/RRuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR返回目录18.2状态方程的列写一、直观法选uC,i1,i2为状态变量。对包含电容的节点列KCL（duC/dt）R1-+uSCuCiSR2i2L2L1-+i1例1列写图示电路的状态方程。分析：对包含电感回路列KVL（diL/dt）整理成矩阵形式，得状态方程如下：选u1,u2,i3,i4为状态变量消去非状态量i5,i6i

5、5=(u2-u1)/R5i6=i4-i3代入上式，整理为矩阵形式L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1u2例2列写图示电路的状态方程。二、叠加法（1）将电源、电容、电感均抽到网络外，网络内均为电阻。（2）电容用电压源替代，电感用电流源替代。（3）用叠加定理求iC,uL。则uS，iS，uC，iL共同作用下的iC,uL为：iC=a11uC+a12iL+b11uS+b12iSuL=a21uC+a22iL+b21uS+b22iS+-uCuSRR+iSiL+--由此可得状态方程。步骤：+-uLiC设uC1、uC2、

6、iL为状态变量（1）uC1单独作用：iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0。求：iC1，iC2,uL。解例iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL+-+-+-+-R1R2uC1iC1iC2uL--++（2）uC2单独作用：iL=0，iS=0，uS=0,uC1=0。求：iC1，iC2,uL。（3）iL单独作用：iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0。求：iC1，iC2,uL。R1R2uC2iC1iC2uL--++R1R2iC1iC2uL-+iL（4）uS单独作用：iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0。求：i

7、C1，iC2,uL。（5）iS单独作用：uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0。求：iC1，iC2,uL。R1R2iC1iC2uS-+uL+-R1R2iC1iC2iSuL+-uC1uC2iLuSiS（6）整理成标准形式三、拓扑法在树支中在连支中（3）形成单树支割集矩阵[Q]，单连支回路矩阵[B]；（4）对单树支割集列写KCL方程用连支电流表示树支电流；[it]=-[Ql][il]（1）线性电路以iL，uC为状态变量。（2）每个元件抽象为一条支路，选一个树使基本思想CRtuS+-RlLiS常态树(Propertree)（6）

8、消去非状态量；例（7）整理，得到状态方程。（5）对基本回路列写KVL方程用树支电压表示连支电压；[ul]=-[Bt][ut]uSiSR1L4C3+-R5123456（1）选uC，iL为状态变量。+-uCiL（2）以1，2，3为树支的常态树。（3）树支电流连支电流（4）（1）[