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时间:2020-03-13
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1、5.3.1数乘向量【教学目标】1.通过实例掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义,掌握数乘向量运算的运算律.2.理解并掌握平行向量基本定理.3.通过教学,养成学生规范的作图习惯,培养学生数形结合的能力.【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理.【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.在向量加法的基础上引入数乘向量的定义,教学过程中紧扣向量的两要素分析定义,始终注重数形结合,引导学生思考,使问题处于学生思维的最近发展区,以
2、此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1.已知非零向量a,求作:(1)a+a+a;a(2)(-a)+(-a)+(-a).aaa-a-a-a请观察3a与-3a是否还是一个向量,它的长度与方向有何变化.APQB2.已知,把线段AB三等分,分点为P,Q,则,,与的关系如何?教师提出问题,引入课题.学生观察解答.在向量加法的基础上引入数乘向量的定义,符合学生认知规律,有利于概念的同化.新课1.数乘向量的定义实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa.
3、向量λa(a≠0,λ≠0)的长度与方向规定为:(1)
4、λa
5、=
6、λ
7、
8、a
9、;(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反.当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0.2.数乘向量的几何意义把向量a沿着a的方向或a的反方向,长度放大或缩小.如2a的几何意义就是沿着向量a的方向,长度放大到原来的2倍.教师由具体例子引导学生得到数乘向量的定义.培养学生由特殊到一般的归纳总结能力.紧扣向量的两要素分析定义,便于理解数乘向量的几何意义.新课练习一任作向量a,再作出向量-3a,a,-a
10、,并说出它们的几何意义.3.数乘向量运算的运算律 设λ,μÎR,有:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.请观察,数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处?例1计算下列各式:(1)(-2)´a;(2)2(a+b)-3(a-b);(3)(l+m)(a-b)-(l-m)(a+b).解 (1)(-2)´a=(-2´)a=-a;(2)2(a+b)-3(a-b)=2a-3a+2b+3b=(2-3)a+(2+3)b=-a+5b.(3)(l+m)(a-
11、b)-(l-m)(a+b)=(l+m)a-(l+m)b-(l-m)a-(l-m)b=(l+m-l+m)a-(l+m+l-m)b=2ma-2lb.练习二化简:(1)2(a-b)+3(a+b);(2)(a+b)+(a-b).例2 设x是未知向量,解方程5(x+a)+3(x-b)=0.解原式可变形为5x+5a+3x-3b=0,8x=-5a+3b,x=-a+b.师生合作完成.教师提出问题.学生观察解答.师生合作完成.学生练习巩固.教师引导学生完成.类比学习.有实数运算法则做基础,学生解决这部分题目很容易,
12、提醒学生向量上加箭头.新课练习三解关于x的方程:(1)3(a+x)=x;(2)x+2(a+x)=0.例3已知=3,=3,说明向量与的关系.解因为=+=3+3=3(+)=3.所以与共线且同方向,长度是的3倍.4.平行向量基本定理如果a=λb,则a//b;反之如果a//b,且b≠0,则一定存在一个实数λ,使a=λb.例如,如果a=2b,则a//b;如果c=-2b,则c//b;如果d//b,且d的长度是b的一半,并且方向相反,则d=-b.c-2bab2b-b5.非零向量a的单位向量与a同方向且长度为1的
13、向量,称为非零向量a的单位向量.易知,a的单位向量为.例4若MN是△ABC的中位线,求证:MN=BC,且MN∥BC.证明因为M,N是AB,AC边上的中点,所以=,=,学生练习巩固.教师给出问题并引导学生解答.学生根据向量加法的三角形法则及数乘向量定义完成解答.教师由上例引导学生推广到一般的平行向量.教师引导学生分析.由本例引入平行向量定理,由特殊到一般,便于学生接受.本题是首次应用向量知识来解决平面几何问题,对新课=-=-=(-)=.所以MN=BC,且MN∥BC.练习四已知点D是线段BC的中点,求
14、证:=(+).学生练习巩固.学生来说有些难度,教师须根据向量的运算法则详细讲解.小结1.数乘向量的定义及其几何意义.2.数乘向量运算律.3.平行向量基本定理.4.单位向量.师生合作.梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结.作业教材P13,练习第1、2题.巩固.
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