由传递函数转换成状态空间模型(1).doc

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1、由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!!SISO线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISO假设外部描述←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统内部描述SISO实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。一、直接分解法因为对上式取拉氏反变换，则按下列规律选择状态变量，即设，于是有写成矩阵形式式中，为阶单位矩阵，把这种标准型中的A系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，c阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。则输出方程写成矩阵形式分析阵的构成与传递函数系数的关系。在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A

2、、b、c矩阵的所有元素。例：已知SISO系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即若选择状态变量满足下列条件（如何考虑？）考虑式设系统的输出，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到写成矩阵形式式中，为阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A阵和c阵具有上式的形式，b阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A是互为转置，能控标准型输入阵b和能观标准型输出阵c互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。将在第六章进一步讨论。通过以上对传递函数阵的能控标准型或

3、能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素。（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即，状态空间表达式的输出方程中才出现项，否则为零阵。例：求前例的能观标准型的状态空间模型解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即一、串联分解法若SISO系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式

4、例：图示！！三、并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）（一）若SISO系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式写成部分分式其中，，为待定系数，其值为选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）即对上式拉氏反变换，得即写成矩阵形式式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数G（s）的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为1的n×1矩阵。求对角标准型模型的输出方程中c的结构对上式拉氏反变换，得如果系统的状态方程的A阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问

5、题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。系统的状态结构图如图所示。例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换解：将用部分分式展开从而可得的极点为互异的，求待定系数得对角标准型的转换为（二）对SISO系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即设系统具有一个重特征值，其重数为j，而其余为互异的特征值，记为，则传递函数可以用部分分式展开成式中，待定系数对应的是重极点的待定系数，其值为其余互异根的待定系数求法同前。画图示意状态变量的取法：例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对

6、约当准型的状态空间模型解：从已知系统地传递函数可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为j=2，有两个互异的极点，即按部分分式展开求重极点对应的待定系数求互异极点对应的待定系数可得约当标准型的模型为