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1、线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型1.行列式的定义一、行列式N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和,每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定(行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排列带正号.2.行列式的性质利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算余子式与代数余子式3.行列式按行（列）展开例14.克拉默法则定理定理二、矩阵1.矩阵的概念记作简记为几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵
2、(或对角阵）.（3）形如的方阵,记作（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵称为单位矩阵（或单位阵）.(6)对称矩阵定义设为阶方阵，如果A的元素满足那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明2）两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.1)加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为2.矩阵的运算2)数与矩阵相乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.并把此乘积记作3)矩阵与矩阵相乘设是一个矩
3、阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例１注：（1）矩阵乘法不满足交换律(2)矩阵乘法不满足消去律,即（其中为数）;若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1）定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例4）矩阵的转置转置矩阵的运算性质注：若A为对称阵，则5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质伴随矩阵定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵伴随矩阵性质称为矩阵的伴随矩阵.6）逆矩阵逆矩阵定义对于阶方阵
4、，如果有一个阶方阵则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵.使得定理1方阵可逆的充要条件是，且二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。逆矩阵的运算性质解：矩阵方程解定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:3.初等变换和初等矩阵定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵注:初等矩阵都是可逆的,其逆矩阵仍为与原矩阵同类型的初等矩阵.定理设是一个矩阵，对施
5、行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等矩阵的作用可逆阵与单位阵等价矩阵的等价利用初等变换求逆阵的方法：定理设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵4.矩阵的秩如果矩阵A的秩等于该矩阵的行数(或列数),则称为满秩矩阵,可逆矩阵就是满秩矩阵.例7：求矩阵的秩。解：但A中有2阶子式不为零，故例7解求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例8解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.矩阵A与之对应的三阶子式与矩阵的秩有关的结论1.初等变换不改变矩阵的秩
6、2.等价矩阵有相同的秩3.设则当B是可逆矩阵时,有4.设则三、n维向量若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．1.向量组的线性相关性一个向量由一个向量组线性表示解：考虑定义2设有两个向量组（1）若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。（2）若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。两个向量组等价向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．由定义3可得：1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。2、含零向量的向量组一定线性相关。3、单个非零向量一定是线性无关。4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成
7、比例。定理2解例11与线性相关性有关的结论:（1）部分相关整体相关。（2）m个n维向量，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。2.最大无关组与向量组的秩定义１注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.与向量组的秩有关的结论3.等价向量组有相同的秩.1.线性方程组的三种表达方式若记（1）四、线性方程组则上述方程组（1）可写成矩阵方程如果将矩阵A的列向量组记为则方程组（1）还可表为向量方程
