选修4-4 坐标系与参数方程.ppt

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1、选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点则称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.二、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO三、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做

2、点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）为负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM2、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反

3、向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M3、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。负极径小结：极径变为负，

4、极角增加。特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…注意：①一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.②如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.

5、五:极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ)1.极坐标转化为直角坐标公式：x=ρcosθ,y=ρsinθ2.直角坐标转化为极坐标公式：ρ2=x2+y2，tanθ=(x≠0)yx2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度单位相同.注意：互化公式的三个前提条件1.极点与直角坐标系的原点重合;曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为(r,0),半径为r的圆圆心为,半径为r的圆六.特殊曲线的极坐标方程过极点,倾斜角为的直线过点,与极轴垂直

6、的直线过点,与极轴平行的直线第二讲参数方程一.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)在这曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程.①二.参数方程和普通方程的互化1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般可以通过消去参数而从参方程得到普通方程.2.如果知道变数x,y中的一个

7、与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一.应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.。三.特殊曲线的参数方程x2+y2=r2注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。2、参数方程

8、的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。（θ为参数）（θ为参数）1.圆的参数方程2.椭圆的参数方程（a>b）（φ为参数）（φ为参数）（φ为参数）其中φ称为离心角,规定参数φ的取值范围是3.抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)经过点，倾斜角为的直线l的普通方程是而过，倾斜角为的直线l的参数方程为。4.直线的参数方程（重点）直线参数方程中参数的几何意义：t表示直线l上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量当点在上方时，t＞0；当点在下方时，t＜0;当点与重合时，