高中数学教程双曲线的几何性质.doc

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1、高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明；3．明确双曲线方程中的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程；2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程为例进行说明。1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程可知，由此双曲线上点的坐标都适合不等式即，即双曲线在两条直线的外侧。2．对称性

2、：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要

3、注意他们并非是双曲线的顶点。4．渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是。所谓渐近，既是无限接近但永不相交。那么如何证明这个无限接近但永不相交？思考：从哪个量上反映“无限接近但永不相交”？——距离。只要证明什么？——距离趋向于0.下面证明，取第一象限内的部分进行证明。（见课本）求法：求已知双曲线的渐近线方程：令右端的1为0，解出的直线方程即为双曲线的渐近线方程。5．等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫

4、做等轴双曲线。定义式：2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：当时交点在轴，当时焦点在轴上。6．注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共

5、轭双曲线？将1变为。3）共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。4）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上。（三）．例题分析：例1．求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。解：把方程化标准方程：，由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点的坐标是渐近线方程为，即。例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如左图），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）。解：如图（右图），建立坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点

6、重合；这时，上、下口的直径平行于轴，且，；设曲线的方程为：令点的坐标为，则点的坐标为，因为点在双曲线上，所以化简，得解得∴所求双曲线的方程为：。例3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。解：∵与双曲线有共同渐近线故设所求双曲线的方程为又∵过点∴∴所求双曲线的方程为即。补充：求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。2课题：双曲线的几何性质（2）目标：1.巩固双曲线的几何性质；2.能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程。重、难点：几何性质的运用。教程：（一）复习：1．双曲线的几何性质：①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。2．练习：①双曲线的实轴长等于，虚轴长

7、等于，顶点坐标为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于．（若方程改为呢？）（二）新课讲解：例1．求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线。解：若，则双曲线方程可化为，渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线方程为，即，又∵双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立。说明：与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．【练习】与双曲线有共同的渐近线且经过点的双曲线方程是．例2．求中心在原点