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1、第一节函数的单调性第二节函数的极值与最值第三节曲线的凹向与拐点第四节曲率第五节洛必达法则习题课学习指导教学要求：1.掌握确定函数单调性的方法2.理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法3.能判断函数图形的凹向，会求函数图形的拐点4.会求简单的最值应用问题5.会用MATLAB语句求解优化问题6.了解曲线的曲率和曲率半径7.能运用洛必达法则重点：函数极值及其求法、函数单调的充分条件、函数图形凹向的判别法、最值的应用问题、洛必达法则。难点：函数的最值应用问题。引例1【工作效率】对某企业员工的工作效率研究表明，一个班次(8小时)的
2、中等水平员工早上8：00开始工作，在t小时后，生产的效率为Q(t)=-t3+9t2+12t试讨论该班次的生产效率。Q(t)、Q′(t)和Q〞(t)的图形，分析上图得出如下初步结论：(1)该班次的产量Q随着时间t增长而增加，到一定时间后又随着时间增长而降低；(2)Q′>0的时间对应产品Q增加的时间，Q′<0的时间对应产品Q减少的时间；(3)Q′=0对应产品最大的时间；(4)Q〞>0的时间对应产品增加幅度较大的时间，Q〞<0的时间对应产品增加幅度较小及产品减少的那一部分时间。第一节函数的单调性引例2【沙眼患病率】某地区沙眼的患
3、病率y与年龄t（岁）的关系为：试研究该地区沙眼的患病率与年龄的变化趋势是怎样的？结论：沙眼的患病率y随着年龄t增长而增加,到一定年龄后又随着年龄增长而降低;)y′>0的年龄对应沙眼的患病率y增加的年龄,y′<0的年龄对应沙眼的患病率y降低的年龄。一般的结论：(函数单调性的判别方法)设在区间(a,b)内可导，则(1)如果在(a,b)内，则函数在(a,b)内单调增加;(2)如果在(a,b)内，则函数在(a,b)内单调减少。例2判定函数的单调性。解因为函数的定义域为，其导数为，所以在整个定义域内都有，故函数在定义域内单调减少。y
4、图3-3X1X2X3例1工作效率注：1.如果有些可导函数仅在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）。2.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性。3.使导数等于零的点（即方程f′(x)=0的实根），叫做函数f(x)的驻点.。例3讨论函数的单调性解因为f′(x)=X2+x–2=(x+2)(x–1)，令f′(x)=0，得驻点X1=-2，X2=1。这两点将f(x)的定义域(-∞,+∞)分成三个部分：(-∞,-2),(-2,1),(1+∞)，下面用列表的形式来进行讨
5、论， （表中“↗”表示单调增加，“↘”表示单调减少）+1+00--↗↘↗（注意函数的间断点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点。例4确定函数的单调区间。解如图3-4，函数的定义域为(-∞,+∞)，而，显然当x=0时，函数的导数不存在，且函数没有驻点。但当x﹥0时，有y′﹥0，函数在区间(0,+∞)内单调增加；当x﹤0时，有y′﹤0，函数在区间(-∞,0)内单调减少。xyo图3-4确定连续函数的单调区间程序：1.求的导数;2.解出的点以及不存在的点,这些点将[a,b]分为若干个子区间;3.讨论在这些小区间上的符号，从
6、而得出f（x）的单调区间。第二节函数的极值与最值3.2.1一元函数的极值3.2.2一元函数的最值3.2.3二元函数的极值一、二元函数极值的概念二、二元函数极值的判别法三、最值问题四、条件极值3.2.4利用MATLAB求函数的极值和最值3.2.1一元函数的极值定义1设函数f(x)在x0的某邻域有定义，且对此邻域内任一点才(x≠x0)均有f(x)﹤f(x0)，则称f(x0)是函数的一个极大值；如果对此邻域内任一点x(x≠x0)均有f(x)﹥f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极
7、值，使函数取得极值的点x0称为极值点。注意：（1）函数的极大值和极小值是局部概念，即如果f(x0)是f(x)的极值，只是对极值点x0的左右近旁一个小范围来讲的。（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个极小值，且其中的极大值未必比极小值要大。如极大值f(x1)就比极小值f(x5)还要小。（3）函数的极值只能在区间内部取得。极值存在的必要条件设函数f(x)在点x0处导数存在，且在x0处取得极值，则函数f(x)在处的导数f′(x0)=0，即x0是函数f(x)的驻点。注意：1.可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点。
8、2.一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点。(如f(x)=
9、x
10、，(0,0)称为曲线的尖点)。连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点。极值存在第一充分条件设函数f(x)在点x0连续，在x0左右附近可导,当x由小增大经过x0时，如果：（1）f′(x)的符号由正变负，则f(x)在点x0处取得极大值
