幂函数的性质及其应用.ppt

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1、幂函数的性质及其应用03数本1卢琼复习:幂函数的概念讨论幂函数的性质：函数y=xα（α是常数）叫做幂函数幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）也不同。主要分α>0和α<0两大类情况去讨论它们的定义域、单调性、奇偶性。定义：当0<<1时，函数图像在第一象限内的规律如下过点（0，0）、（1，1）呈抛物线型，上凸递增。当>1时，函数图像在第一象限内的规律如下过点（0，0）、（1，1）呈抛物线型，下凸递增。图象1.gsp图象2.gsp当<0时，函数图像在第一象限内的规律如下过点（1，1）呈双曲线型，递减，与两坐标轴

2、的正半轴无限接近。图象3.gsp例1.gsp例2：利用幂函数的性质，比较下面各组中两个值的大小1解：几何画板2解：几何画板变式练习1．函数y＝（x2－2x）-1/2的定义域是（　　）A．{x

3、x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）答案：B2．函数y＝的定义域是（　　）A．5≥x≥－3B．5＞x＞－3C．x≥5或x≤－3D．R答案：A3．已知函数y＝（1）求函数的定义域、值域（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数

4、解析：这是复合函数问题，用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，∴x∈［－5，1］时，t随x的增大而增大；x∈（1，3）时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝在t∈［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝的单调增区间为[－5,1]，单调减区间为(1,3]。（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，∴t＝16－（x－1）2∈［0，16］∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．2．对于幂函数y＝xa，我们首先应该分析函数

5、的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即a＜0，0＜a＜1和a＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意a＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即a＞0（≠1）时图象是抛物线型；a＜0时图象是双曲线型；a＞1时图象是竖直抛物线型；0＜a＜1时图象是横卧抛物线型．规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；再见