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1、2011届高数补习班课件单班姓名：杨阳通信11C4，学号：112231434二、点到平面的距离问题：和平面外一点P0(x0,y0,z0)，求点P0到该平面的距离d.已知平面如下图，P0在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)，P1则d就等于向量在平面的法向量n={A,B,C}上投影的绝对值，nN即θ而因此即这就是空间一点P0到平面的距离公式。例1求点P（-1,-2,1)到平面的距离。解：例2求两平行平面Y1:2x+y+2z-9=0和Y2:4x+2y+4z-15=0的距离。解：求平面的距离，简单而言就也是求点到平面的距离。 在平面Y1上找一点M（4，1，0） 则到平
2、面Y2的距离为：d2=
3、AX0+By0+Cz0+D
4、2/A2+B2+C2代入得=
5、4*4+2*1-15
6、/4*4+2*2+4*4d2=32/36 =1/4所以d=1/2即y1到y2的距离是1/2.三、两平面的夹角定义：两平面的夹角为这两平面法向量的夹角θ，如右图所示。π1π2θn1n2θ设两平面π1，π2的方程分别为：于是两平面的法向量分别为：故可得两个结论：练习求两平面x+y+2z+3=0和x-2y-z+1=0的夹角（夹角为60度）例3设平面过点M1（1,1,1)，M2（0,1,-1)，且垂直于平面求此平面方程。解：用待定系数法解决。例4求过点（1，-2，1），且
7、与两平面x-2y+z-3=0和x+y-z+2=0垂直的平面方程。四.两直线的夹角两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角.s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}L1L2φ设直线L1的方向向量s1={m1,n1,p1},设直线L2的方向向量s2={m2,n2,p2},则直线L1与直线L2的夹角的余弦公式为：两直线的夹角的余弦公式两个结论：1.若直线L1与直线L2平行，则有两直线平行图示π两直线垂直图示2.若直线L1与直线L2垂直，则有图示例题已知直线解由所给方程知s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，代入夹角公式可得
8、求两直线的夹角.四.直线与平面的夹角定义直线与平面的夹角设直线L的方向向量s={m,n,p}设平面π的法线向量n={A,B,C}则定义s与n的夹角为直线L与平面π的夹角.记作φ.πAx+By+Cz+D=0n={A,B,C}πφθs={m,n,p}L直线与平面的夹角（图示）这是平面π与直线L的交角这是直线L与其在平面π上投影的交角四.直线与平面的夹角夹角公式：已知直线L的方向向量为（m,n,p）平面π的法向量为（A，B，C），则有θφn={A,B,C}s={m,n,p两个结论：1.若直线L与平面π平行，则n⊥s，于是n={A,B,C}πs={m,n,p}L//π图示L
9、：s={m,n,p}πAx+By+Cz+D=02.若直线L与平面π垂直，则则n∥s，于是n={A,B,C}πs={m,n,p}L：π：Ax+By+Cz+D=0平行练习思考讨论确定下面直线与平面的位置关系：（1）4x-2y-2z=3与（2）3x-2y+7z=8与（3）x+y+z=3与直线在平面上垂直求直线与平面交点n={A,B,C}ππ：Ax+By+Cz+D=0L：s={m,n,p}M(x,y,z)图示怎样才能求出交点M？例题已知平面π2x+y+z-6=0及直线L解令直线方程求其交点.得x=2+ty=3+tz=4+2t（1）代入平面π方程，得2（2+t）+(3+t)+
10、(4+2t)-6=0整理得5t=-5,即t=-1将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2.即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得.L五.综合例题解（方法一）(1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量n平行于直线方向向量s，即nPQsn={2,0,-1},P(0,-1,1),得平面方程2x-z+1=0.(2)求直线与平面的交点，解方程组y+2=0x+2z-7=02x-z+1=0即得Q（1，-2，3）(3)即为所求.x=1,y=-2,z=3.图示1.求点P(0,-1,1)到直线y+2=0x+2z-7=0的距离
11、.L五.例题解（方法二）以
12、PQ
13、为高作一个平行四边形如图。则d=
14、PQ
15、=平行四边形的高。PQs(1)在L上求出一点M0，不妨令已知方程组z=0可得M0(7,-2,0).(2)由上面知s={2,0.-1},另作向量于是有M01.求点P(0,-1,1)到直线L的距离.图示续上(3)即为所求.d即为所求平行四边形的高PQ.LPQsM01.求点P(0,-1,1)到直线y+2=0x+2z-7=0的距离.图示由向量积的几何意义知：平行四边形面积3.验证两条直线L1,L2是否共面.其中答：共面.可以由前三个平面方程联立解得：x=4,y=5,z=-7,代入第四个平面方程检验
