高等传热学-第二章-稳态导热.ppt

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1、动力工程及工程热物理学科研究生高等传热学（32课时）第二章稳态导热稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中，像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此可进一步导出热流密度和热流量。在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问题是可以简化为一维问题

2、的。这样的模型使问题的数学处理得以大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导

3、热问题常常有赖于数值解。2-1一维稳态导热图2-1通过大平壁的导热2-1一维稳态导热2-1-1无内热源的一维导热求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条件出发，解得温度场。对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为t1和t2。导热微分方程简化为（2-1-1）其通解为（2-1-2）问题的边界条件为（2-1-3）由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布（2-1-4）根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度（2-1-5）注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。从导热

4、微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作（2-1-6）2-1一维稳态导热由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理，这两个平面间的温度一定会发生变化。对上式分离变量并积分：（2-1-7）对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如果已知导热系数随温度变化的函数关系，定义（2-1-8）为t1~t2温度范围

5、内的平均导热系数，则可得（2-1-9）2-1一维稳态导热如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数，则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平均温度下的导热系数，即（2-1-10）如果改变式（2-1-7）中的积分上限，写作（2-1-11）则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式（2-1-12）2-1一维稳态导热2-1一维稳态导热图2-2通过圆筒壁的导热通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导热面

6、积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得（2-1-13）分离变量并积分（2-1-14）对于常物性问题，整理后可得（2-1-15）对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。2-1一维稳态导热对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶定律可写出（2-1-16）当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的方法自行推导得到（2-1-17）2-1一维稳态导热2-1-2带有内

7、热源的一维稳态导热导电体通电时发热是导热物体内热源的最常见的例子，计算由于这种发热引起的温升对于设计电器设备是很重要的。在浇灌大量的混凝土时，混凝土水化时的发热也会形成过高的温度，常常需要设计特殊的冷却系统。此外，在释放化学能和原子能的场合，也会涉及内热源的问题。考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导热问题，导热微分方程可简化为（2-1-18）2-1一维稳态导热2-1一维稳态导热图2-3有均匀内热源的平壁中的温度分布对以上方程积分两次，可得

8、该常微分方程的通解（2-1-19）如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为零，即（2-1-20）代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，并整理得到（2-1-21）2-1一维稳态导热2-1一维稳态导热如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，并整理得到（2-1-22）以上温度分布可以看作两个温度分布的叠加：后