数值分析试卷10计科专升本(B)卷-参考答案.doc

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1、数值分析2012－2013第1学期10计算专升期末试卷B参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1、T2、F3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T二、计算题（每题8分，共40分）１、设有微分方程。设步长为0.1，用Euler方法，计算的近似值：解：记步长为。Euler方法是以为起点，以为切线，构造直线，并以所构造直线在点处的值作为的近似，写成表达式有（4分）依次计算的结果（8分）２、设，已知试用线性插值及二次插值计算的近似值，并估计误差。解：（1）因为0.54介于0.5与0.6之间，为

2、了进行内插值，所以选取为插值节点，构造插值基函数：试卷第7页共7页插值函数为：并有余项：所以（4分）（2）选取节点，构造二次插值基函数有插值函数：有余项：所以（8分）１、设有实验数据试求与的函数关系。解：由图上可以看出与大致呈线性关系。设试卷第7页共7页记，现在的目标是确定使达到最小。为此，令写成矩阵的形式有（5分）解之，得，即与的函数关系大致为（8分）１、用Newton迭代法求方程在上的一个根，并用做４次迭代计算。解：对求导，有，构造Newton迭代格式（4分）作4次迭代的结果为（8分）２、用LU分解的方法

3、求下列两个方程组的解与试卷第7页共7页解：记，则原方程组可表示为对作分解有（4分）记，解得，求解，得。记，解得，求解，解得。（8分）三、综合计算题（每题16分，共16分）１、设有线性方程组试求（1）给出解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代矩阵（2）判断解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的收敛性；（3）选取收敛速度较快的一种迭代方法，取进行四次迭代计算解：（1）分别记Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代矩阵为，则试卷第7页共7页（6分）（2）系数矩阵是

4、严格对角占优的，所以Jacobi迭代、G-S迭代都是收敛的。（10分）（3）的三个特征值为：所以的谱半径为的三个特征值为所以的谱半径为由于所以Gauss-Seidel迭代收敛速度快于Jacob迭代的收敛速度，取Gauss-Seidel迭代，以为初始向量，计算四次的结果为（16分）四、应用题（每题12分，共24分）１、尝试只用加、减、乘、除四种运算，计算的近似值，并以实例说明。解：（1）因为是方程的根，所以可以用求根的方法求的近似值，记，则，构造迭代格式这个算法中只含有乘法、除法与加法运算。另外，由此构造的序列

5、，满足试卷第7页共7页其中，显然当时，总有，所以（8分）（2）取，用上述迭代法，计算5次的结果为（12分）１、试用数值积分的方法计算的近似值。解：（1）因为，于是可以利用数值积分算法计算的近似值。如果用龙贝格算法，其算法过程为：将区间分为等分，计算：计算并以作为的近似值。（8分）（2）以为例，采用复化梯型求积公式，其过程如下：，记，，做4等分，节点为，对应的函数值为试卷第7页共7页所以其误差为（12分）试卷第7页共7页