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1、1.已知数列的前项和．（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.解：2.已（I）求证：数列{an，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若恒成立，求实数t的取值范围．-8-3.经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比
2、前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．（I）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；（II）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518=2.406,1.0519=2.526，1.0520=2.653，1.0521=2.786）4.设数列是公差为的等差数列，其前项和为.已知，（1）求当n∈N*时，的最小值；（2）当时，求证：-8-5.已知数列的首项，且（1）求数列的通
3、项公式；（2）设…,求….6.已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,首项是中的最大数,且.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）若数列满足，令，试比较与的大小.1-8-1.已知数列的前项和．（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）当时，，∴；当时，，两式相减得：，即，又.∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.∴，故.（Ⅱ）∵，∴原问题等价于对任意恒成立.令，则，∴当时，，∴当时，，∴当时，.∴，故.2.已（I）求证：数列{an，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，bn
4、取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若恒成立，求实数t的取值范围．解：（I）∵，，，．即．又，可知对任何，，所以．，∴是以为首项，公比为的等比数列．（II）由（I）可知=（）．-8-∴．．当n=7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．（III）由，得（*）依题意（*）式对任意恒成立，①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．②当t<0时，由，可知（）．而当m是偶数时，因此t<0不合题意． ③当t>0时，由（）,∴ ∴．（）……11分设（）∵=,∴． ∴的最大值为．所以实数的取值范围是
5、．3.经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．（I）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；（II）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的
6、那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518=2.406,1.0519=2.526，1.0520=2.653，1.0521=2.786）-8-解：【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用，数列的基本应用和等差数列的性质，考查等价转化和建模能力．（2）设李顺第个月还清，则应有整理可得，解之得，取，即李顺工作个月就可以还清贷款．这个月，李顺的还款额为元，第31个月李顺的工资为元，因此，李顺的剩余工资为．4.设数列是公差为的等差数列，其前项和为.已知，（1）求当n∈N*时，的最小值；（2）当时，求证：解（1）∵，∴∴（当且仅当时取
7、等号）。∴的最小值为16。（2）证明：由①知，＝＝＝＋＋…＋＝（＋＋…＋）－（＋＋…＋）-8-＝，即。5.已知数列的首项，且（1）求数列的通项公式；（2）设…,求….解（1）∵∴又∴∴是以6为首项，2为公式的等比数列∴∴（2）∵∴6.已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,首项是中的最大数,且.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）若数列满足，令，试比较与的大小.解（Ⅰ）根据题设可得:集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列.由此可得,对任意的,有中的最大数为,即设等
8、差数列的公差为,则,因为,,即由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列所以,由，所以所以数列的通项公式为（）（Ⅱ）于是确定与的大小关系等价于比较与的大小-8-由，，，，可猜想当时，证明如下：证法1：（1）当
