Leslie模型(数学建模).ppt

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1、关于人口预测、控制及其他相关问题的研究关于建立人口增长模型,我们考虑了两条主要思路:一.以微分方程为主要手段:二.以高等代数为主要手段:提出问题:我们首先考虑Malthus模型：x(t)为人口总数，r为自然增长率；于是可以得出：x(t)=x0er(t-t0)改进的模型设地球能容纳的总人数为k，随着人口的增长，出生率必然会下降，于是r与x存在着一定的关系。基于上述假设，我们选择一种简单的函数。r(x)=r0(1-x/k)r0为特定的常数解得：x(t)=k/[1+(k/x0-1)e-r(t-t0)]分析以上两个模型：每个个体

2、的出生率与死亡率是相同的。但实际上不同年龄的年的生育率与死亡率有很大的不同。基于这种考虑，下面将建立一个人口按年龄分布的模型定义r表示年龄，函数F（r,t)为t时刻年龄小于r的人口总数，称其为人口分布函数令p(r,t)=F/rp(r,t)为年龄密度函数则t时刻年龄处在[r,r+dr)的人口总数为p(r,t)dr设µ(r,t)为t时刻年龄为r的人的死亡率，t时刻年龄在[r,r+dr)单位时间死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)dree浙江大学竺可桢学院多学科讨论组分析：下面考虑从t到t+dt这一过程的人口变化：年龄处在[r

3、,r+dr)到t+dt时刻活着的人的年龄变为[r+dt,r+dr+dt)而这一时刻死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)drdt则p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr=µ(r,t)p(r,t)drdtp/r+p/t=-µ(r,t)p(r,t)p(r,0)=p0(r)p(0,t)=f(t)eeeep0(r-t)ef(t-r)e在社会比较安定的情况下,死亡率大致与时间无关.μ(r,t)=μ(r)p(r,t)=0≤t≤rt>r分析：1.当t

4、t>r时，p(r,t)完全由未来的生育状况f(t-r)及死亡率决定。back两个重要模型:KeyfitzLeslie一些定义:n为人类的年龄上限F(x)=x岁的妇女所生的婴儿数/x岁的总人口数S(x)=x岁人的存活率P(x)=初始时x岁的总人口数Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数K=……P(0)P(1)P(n)I(t)=……Nt(0)Nt(1)Nt(n)数学表达:第一年新生儿的总数:F(0)•P(0)+F(1)•P(1)+•••+F(n)•P(n)第一年x岁人口总数:N1(x)=S(x-1)•P(x-1)第一年末人

5、口总数:F(0)•P(0)+F(1)•P(1)+•••+F(n)•P(n)+S(0)•P(0)+S(1)•P(1)+•••+S(n-1)•P(n-1)建立模型:构造n+1阶方阵M=F(0)F(1)F(2)•••F(n)S(0)S(1)S(2)•••S(n-1)那么I(1)=MKI(t)=MtKback考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把女性人口数作为研究对象.另外在这个模型中我们还加上了人口迁移对起其总数的影响.

6、一些定义:n为人类的年龄上限a(x)=x岁的妇女所生的婴数/x岁的妇女总数b(x)=x岁人的存活率h(x)=x岁的妇女迁移数/x岁的妇女总数Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数K=I(0)I(t)=……Nt(0)Nt(1)Nt(n)H(t)=h(0)h(1)…..h(n)数学表达:第一年新生女婴的总数:a(0)•Nt(0)+a(1)•Nt(1)+•••+a(n)•Nt(n)第一年x岁女性人口总数:N1(x)=b(x-1)•Nt(x-1)-h(x-1)•b(x-1)•Nt(x-1)=(1-h(x-1))•b(x-1)•

7、Nt(x-1)第一年末女性人口总数:a(0)•Nt(0)+a(1)•Nt(1)+•••+a(n)•Nt(n)+(1-h(0))•b(0)•Nt(0)+•••+(1-h(n-1))•b(n-1)•Nt(n-1)建立模型:构造n+1阶方阵L=a(0)a(1)a(2)•••a(n)b(0)b(1)b(2)•••b(n-1)那么I(1)=(L-H)K;I(t)=(L-H)I(t-1)I(t)=(L-H)tK定理：Leslie矩阵具有唯一的正特征根1，与之对应的特征向量为N=（1k/(P0P1…Pk-1),1k-1(P1…P

8、k-1),…,1/Pk-1,1)TA属于1的特征向量N=n0..nk解线性方程组AN=1N1k/(P0P1…Pk-1)N=1k-1(P1…Pk-1)1/Pk-11当且仅当1=1时，NjN，人口总量将趋于稳定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组