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1、三角形中的辅助线《三角形》一章是同学们学习几何证明的基础.在学习过程中,有些同学常常对几何证明题辅助线的添加方法显得束手无策,下面我们就来一起探究三角形中常见辅助线的作法.人说几何很困难，难点就在辅助线.辅助线，如何添？把握定理和概念.还要刻苦加钻研，找出规律凭经验.图中有角平分线，可向两边作垂线.也可将图对折看，对称以后关系现.角平分线平行线，等腰三角形来添.角平分线加垂线，三线合一试试看.线段垂直平分线，常向两端把线连.要证线段倍与半，延长缩短可试验.三角形中有中线，延长中线等中线.1.三角形中的性质:(1)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;(2)三角形的
2、三内角之和为180度;(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.2.三角形中的线:中线;高线;角平分线;中垂线.(1)等腰三角形;(2)等边三角形;(3)直角三角形;(4)等腰直角三角形.3.特殊的三角形:1.中线倍长法2.截长补短法3.角平分线构造全等法4.垂直平分线5.补形法常用辅助线连结典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.ACBD1.连结AC构造全等三角形2.连结BD构造两个等腰三角形典例2:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.ACBD连结AC、AD构造全等三角形EM连结连结典例3:如图,AB=A
3、C,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点，求证：∠AMB＝∠ANCACBD连结AD构造全等三角形NM典例4:如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.ACBD连结BD构造全等三角形O连结典例1:如图,△ABC中,∠C=90o,BC=10,BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等ACDBE角平分线上向两边作垂线段典例2:如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.ACD过点D作DE⊥AB构造了:全等的直角三角形且距离相等BE角平分线上向两
4、边作垂线段典例3:如图,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.过点E作EF⊥BC构造了:全等的直角三角形且距离相等思考:你从本题中还能得到哪些结论?ACDBFE角平分线上向两边作垂线段2.如图,梯形中,∠A=∠D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.延长BE和CD交于点F构造了:全等的直角三角形F思考:你从本题中还能得到哪些结论?ACDBE角平分线上向两边作垂线段1212典例4:如图,OC平分∠AOB,∠DOE+∠DPE=180o,求证:PD=PE.ACD过点P作PF⊥OA,PG⊥OB构造了:全等的直角三角形且距离相
5、等BF思考:你从本题中还能得到哪些结论?EPGO角平分线上向两边作垂线段1.AD是△ABC的中线，ABCDE延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.中线倍长如图,△ABC中,∠A=90o,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC垂直平分线两边连3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1A2=6cm,求△ABC的周长.BACOMAB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2A1A2N垂直平分线两边连4.如图,△ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,△AB
6、M周长为13cm，求△ABC的周长.BACMAB+BC+AC=AB+BM+MC+6=NAB+BM+AM+6=13+6=19垂直平分线两边连5.如图,△ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC.若BC=6cm,△AMN周长为13cm，求△ABC的周长.BACPAB+AC+BC=AM+BM+AN+NC+6=NAM+MP+AN+NP+6=13+6=19MAM+AN+MN+6=等腰三角形性质例4.如图,BC＞AB,BD平分∠ABC,且AD=DC,求证∠A＋∠C=180°.分析:我们要证∠A＋∠C=180°.设法将∠A和∠C“搬”到一块,拼成一个平角,现有以下几种方式.
7、又∠BED＋∠DEC=180°,故∠A＋∠C=180°.证法1:如图在BC上截取BE=AB,连DE,可证△ABD≌△EBD.得到DE=AD=DC,∠A=∠DEB,∴∠C=∠DEC,证法2:如图延长BA至F,使BF=BC连接DF.则有△BDF≌△BDC,得CD=DF=AD,∠C=∠F.由∠BAF为平角可证结论成立.证法3:如图,过D分别作∠ABC的两边的垂线,E、F为垂足,则DE=DF,易证△ADF≌△CDE,有∠C=∠DAF,故∠BAD＋∠C=180°.证法4:如图,过A作BD垂线交BC于G,交BD于H,连DC,易
