相似三角形中的辅助线

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1、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：证明：过点C作CG//FD交AB于G小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2.如图，△ABC中，AB

2、明：AB·DF=AC·EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）又∽∴∴（2）（1）+（2）又∴AN=CM∴三、作延长线例5.如图

3、，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF解析：欲证式即由“三点定形”

4、，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H则∴又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF四、作中线例7如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴（2）由（1）（2）得，∴小结：利用

5、等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键综合练习题1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF 2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。3、.理由？（用三种解法）1、证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴　①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴　　∴　②由①②得，∴EF×BC＝AC×DF2、证明：过P作PE⊥AC于

6、E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴（1）在和中：CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即（2）由（1）（2）得3、方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。图（1）方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC图（2）在△BED与△BCD中，方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。图（3）