相似三角形中的辅助线归纳总结

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1、相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下儿种：一、作平行线例1.如图，AA3C的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BF_BDCF~~CE证明：过点C作CG//FD交AB于GADAE~AG~~AC又:AD=AE,:.AG=ACBD_BFDG~CF:.DG=CE••・GC//DF,BDBFC£~CF

2、小结：本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。由这道题还对以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2.如图，AABC中，AB

3、似）。FMFC:.——=亠即EMAC=ABEC,ABACABEM•—'^C~~EC同理可得AEMF〜DBFEFEM~DF~~BD又・・・BD=EC,EM_EM~EC~~BDAB_EF~AC~~DF..ABDF=ACEF方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N则有，BDN〜ABAC,...型=竺，即BDAC=AB・DN（比例的基木性质）ABACABBD■同理ZWCF〜2NF,.•.竺=竺，而BD=EC（已知）DNDF.•.竺=竺（竺为中间比），DNDNDNABEF~AC~~DFAB•DF=AC•EF二、作垂线3.已知：如图两个等积AABC、DBC,

4、若AC、BD交于E,EF/7AB,别交BC于F、G,求证：CF=BGoEG〃CD,分证明：CFCEBGBETEF〃ABJ——EG〃CD•••——BCACBCBDSwc=S迪c:.AB•ME=CD•ENAB_ENCD~~EMBE_CE~DE~~AEBECE~BD~~ACCFBG~BC~~BC:.CF=BG4.如图从UABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证：abae+adaf=ac2o证明：过B作BM丄AC于M,过D作DN丄AC于NABMACEAM_AB•••:.ABAE=AC-AM(1)AEAC-A°:.AD-AF又

5、AADNsaacf:.—■二ACAN(2)AFAC(1)+(2)ABAE-^-ADAF==AC-AM+AC-AN=MCG4M+AN)又ADN='BCM:.AN=CM:.AB-AE+ADAF=AC(AM+CM)=AC2三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD屮，AD〃BC,若ZBCD的平分线CH丄AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的而积为21,求AHBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD,所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点PTCH丄AB,CD平分ZBCD・・・CB二CP,且BH二PHVBH

6、=3AH・・・PA：AB=1：2Z.PA：PB=1：3VAD/7BCAAPAD^APBC••S'PAD：S&BC=1：9•SZCH-Is_2HPBC・・・s△砸—Q—7—。四边形加/CD一乙.1•^APAD=6••SHPBC=54••Shhbc=3S&bc=27例6.如图，RtAABC中，CD为斜边AB±的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F,FG丄AB于G,求证：FG2=CF>BFBFGCF解析：欲证式即——=—由“三点定形SABFG与ACFG会相似吗？显然不可BFFG能。（因为ABFG为RtA）,但由E为CD的中点，.••可设法构造一个与ABF

7、G相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于HnIAF则一=AE・fg..=EDFG_FH~ED~ECFH'EC又ED=ECJFG=FH又易证RtACFHsRt△GFBCF■■■=FGFH=——AFG•FH=CF•BFBFFG=FHAFG2=CF•BF四、作中线例7如图，AABC中，AB丄AC,AE丄BC于E,D在AC边上，若BD=DC=EC=L求AC。解：取BC的中点M,连AMJAB丄AC/•AM=CM/•Z1=ZC又BD=DC•••ZDBC=ZDCB:.Z1=ZC=ZDBC:.MACDBC又DWMC=1BCAC=MCBCDC(1)又Rt

8、AECRtBAC又TEC=1AC2=CE-BC=BC(2)由(1)(2)得，A