埃尔米特插值.ppt

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1、第六节埃尔米特插值在某些问题中，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，不但要求“过点”，即两者在节点上具有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值，这类插值称之为切触插值，或称为埃尔米特（Hermite）插值，这是泰勒插值和拉格朗日插值的综合和推广。一、回忆1、泰勒插值，特点：多项式；插值条件：2、拉格朗日插值，特点：多项式；插值条件：二、Hermite插值1、二次插值可能有的插值条件条件1：条件2：2、问题5：求作二次多项式，满足设用这一插值函数逼近某个取值为的函数，那么，从图形上看，曲线　与　不但有两个交点，，而且在点处两者还相切。3

2、、问题5的求解法1：基于承袭性方法条件为如何确定c？线性Lagrange插值多项式法2：用基函数方法，取下列插值函数如果插值节点为0，1的基函数为：其中是二次函数，满足下列条件：类似地,有任意点时的插值公式，其中如果插值节点为的基函数为：注意：通过如下变换可得到上述插值公式。问题：如何画出这些基函数的图形？抓住在节点“过点”和”相切”的特点!节点处函数值相等节点处导数值相等要求：4、高次插值仿照上述类似地求其插值多项式！5、Hermite插值问题若已知函数在插值区间上个互异的节点处的函数值及一阶导数值，求插值函数满足条件：（a）是一个次数不超过次的多项式；（b

3、）6、Hermite插值余项定理若在插值区间内有阶导数，则对于任何，Hermite插值问题（a）、（b）的余项为其中式中只与有关。证明：由Hermite插值问题条件（b）得所以故有个二重零点：于是，可设可知在区间上有个二重零点和一个单零点。将上式与定理中要证明的（*）进行比较，可知只需证明先将看作不同于的定值，作辅助函数则有又由插值条件（b）,得又由由Rolle定理，在点之间至少有零点，且仍然是的零点。因此，在内至少有个零点。同理，在内至少有个零点。依次类推，反复运用Rolle定理，最后得在内至少有一个零点，使得小结在节点一定的条件下，可以多种构造插值条件；埃

4、尔米特插值具有少节点得到高次插值多项式的特点；插值多项式灵活多样；构造插值多项式的过程：注意算法的承袭性，并使用Lagrange插值多项式和待定系数。作业：p545,6,7,12,14,17