我爱希望杯第22届.doc

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1、我爱希望杯1.刘天发贵州省贵阳市修文中学550200第22届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试2011年3月13日上午8：30至10：00一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。1．已知是幂函数，它的图像过点，则的值等于（）(A)(B)(C)(D)解：由是幂函数，由的图像过点得。即，于是，则，选(C)。2．设，则A属于区间（）(A)(2,3)(B)(l,2)(C)（-2，-l)(D)（-3，-2)解：，故选(A)。3．图1中给出一枚骰子的三种不同放法，则图中“?”处的数字是（）(A)1(

2、B)2(C)3(D)6解：在第一个图形中，5在上面，4在前面，1在右侧，比较第3个图，5在右侧，4在前面，1在哪里？1在底面，于是思考1的对面是几就可以了。由第1个图和第2个图可以知道：2，3，4，5都与1相邻，于是1的对面是6，故选(D)。4．己知，则的值的集合是（）(A){1}.(B){0}.(C){-1}.(D){-1,1}.解：由，得，且，或者，且。则，故选(C)。5．已知，设,则A与B的大小关系是（）(A)A＞B(B)A

3、递增数列，则实数的取值范围是（）(A)(1,5)(B)(2,5)(C)(D)7解：由数列｛｝是单调递增数列知，。又，于是，故选(D)。7.Twoknownvectors，（),and,thenthemaximumvalueoffis()(A)1(B)2(C)3.6(D)4（英汉词典：vector向量；maximumvalue最大值）解：，故选(A)。8．设函数，当时，有，则（）(A)(B)(C)(D）1解：画出函数的草图。构造符合题目条件的数。取，则，取，则，取，则。故选(A)。9．已知,是异面直线，给出以下四个命题：①

4、一定存在平面过且与平行．②一定存在平面与,都垂直．③一定存在平面过且与垂直．④一定存在平面与,的距离都相等．其中错误的命题个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4解：命题①与④正确，命题②与③错误，故选(B)。10．对于数列101,10101,1010101,101010101，…，下列判断中正确的是（）(A)数列的所有项都是质数．(B)数列的所有项都是合数．(C)数列中有且仅有1个质数．(D)数列中的质数不少于两个．解：明显101是质数。下面把数列中的每一项看成是首项1，公比为100的等比数列的前（）的和构成的新数列

5、，即第一项，第二项，第三项，类推，于是第项是7若为大于1的奇数，则记，，于是必是合数。若为大于1的偶数，则记，必是11的倍数。必是9的倍数。于是。记，则必是合数于是，当时，必是合数。故选(C)。二、A组填空题（每小题4分，共40分）11．四边形ABCD中，若成立，则四边形ABCD是_______.（填“平行四边形”、“长方形”、“正方形”或“梯形”)解：则四边形ABCD是平行四边形。12．设，且和依次是偶函数和奇函数，则。解：7。于是则，所以。13．已知，则。解：，于是，，。14．对集合A和B，定义下面的两种运算：,。若

6、,，则。解：。。于是。。因此。15．已知数列｛｝满足且，则的值为。解：，即。推测数列｛｝是周期为3的数列。于是。16．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间［0,2］上是增函数，若方程在区间[-4,8]上有四个不同的实数解．则的值是。解：，即函数的周期为8。又是奇函数，且在区间［0,2］上是增函数。可以类比正弦函数图像在7的情形考虑问题，不妨记，由于方程中，则，，，，其中。因此。17．已知点M（-2，-1）和N(l，-5)，又点P在圆C:上运动，则面积的最大值是。解：圆C:圆心C（2，1），半径为2。，直线的斜率。直线的方

7、程：。点C（2，1）到直线的距离。点P到直线的最大距离为。于是面积的最大值是：。18．图2所示的程序框图的输出结果为。解:。19．4个平面可以将空间最多分成部分。答：15部分。（咱暂时构造不出来）。20．Definevectors，，and(realnumber)。If，thenthevaluerangeof。解：由，，则。于是，由，从而。三、B组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空，每空4分）21．的最小值为，此时。解：。若考虑：，，。则，此时。即的最小值为，此时。722．已知。(l)若是偶函数，则。(2)若的最

8、大值是，则。解（1）因是偶函数，则对一切实数恒成立。由于即，从而对一切实数恒成立，则。当时，则；当时，则；综上：，或，或。（2）的最大值，即。于是。23．已知函数有且仅有一个零点，则的取值范围是。该零点为。解：，令，则若时，函数在区间上是增函数，且，不符合题意。若时，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。于是，则。