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《高三理科数学培养讲义：第2部分_专题4_第9讲_空间向量与立体几何.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第9讲空间向量与立体几何高考统计•定方向热点题型真题统计命题规律题型1:求空间线面角2018全国卷IT18；2018全国卷IIT20；2017全国卷IIT19；2016全国卷ITTT19；2015全国卷TIT19分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：多以解答题的形式出现，一般位于第18或19题的第(2)问，主要考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上.题型2：求空间二面角2018全国卷HIT19；2017全国卷TT18；2017全国卷TTT19；2017全国卷IIIT19；2O16全国卷IT18；2016全国卷TIT19；2014全国卷IT19题型3：利用
2、空间向量解决探索性问题暂无考题题型1求空间线面角■核心知识储备・直线与平面的夹角兀(1)直线与平面的夹角0丘[0,2.(2)设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，则sin0=
3、cos〈a,n)a-n~a-[■高考考法示例・【例1】(2018・洛阳模拟)如图2-4-34,在四棱锥2ABCD中，平面PAD±平面ABCD,M丄PDPA=PD,AB丄AD,AB=1,AQ=2,AC=CD=yj5.(1)求证：PD丄平面B4B；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.［解］(1)证明：因为平面丄平面ABCD,平面B4Z)n平面ABCD=AD,AB丄AD,所以AB丄平面PA
4、D,所以AB丄PD.又期丄PD,ABHPA=A,所以PD丄平面(2)取AD的中点0,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POLAD.因为POU平面PAD,平面丄平面ABCD,所以PO丄平面ABCD・因为COU平面ABCD,所以PO丄CO.因为AC=CD,所以CO丄AD.如图，建立空间直角坐标系O-xyz.题意得，A(0,l,0,),B(l,l,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,l)・设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则fvPD=0,f_y_z=O,即］—►21—z=0S・PC=0,Iu，令z=2,则x=1,y=—2.所以w=(l,一2,2)・PB
5、\・・・皿与平面PCD所成角的正弦值为
6、cos4=¥・题型2求空间二面角■核心知识储备・向量法求二面角求出二面角处人”的两个半平面。与0的法向量耐，心，若二面角少Z・0所成的角&为锐角，贝
7、Jcos0=
8、cos〈比1，兀2〉
9、=
10、爲徐若二面角处妙所成的角&为钝角,则cos■高考考法示例・【例2】如图2-4-35,五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起,使得点S在平而ABCD上的射影恰好在AD上・图2-4-35⑴当AB=yf2时，证明：平面SAB丄平面SCD；(2)若AB=1,求平面SCD与平面SBC所成二面角的余
11、弦值的绝对值.［解］(1)证明：作SO丄AD,垂足为0(图略)，依题意得SO丄平面ABCD,・・・SO丄AB,SO丄CD,又AB丄AD,:.AB丄平面SAD,AB丄SA,AB丄SD・利用勾股定理得SA=pSB2—AB?,同理可得SD=«1在△SAD中，AZ)=2,SA=SD=d・・.SA丄SD.・・・SD丄平面SAB,又SDU平面SCD,所以平面SAB丄平面SCD.(2)连接BO,CO,・.・SB=SC,/.RtASOB^RtASOC,BO=CO,又四边形ABCD为长方形，/.RtAAOB^RtADOC,：.OA=OD.取BC中点为E,得OE//AB,连接SE,:.SE=y/3,其
12、中OE=1,OA=OD=,OS=p3_2=©由以上证明可知OS,OE,AD互相垂直，不妨以OA,OE,OS分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.*.•0E=1,：.OS=yf2,设y,zi）是平面SCD的法向量,令zi=1得加=（—迈，0,1）.设川=（尢2,丁2,Z2）是平面SBC的法向量,令2—1得w=(0,^2,1).则
13、cosS,n>l=j^i=
14、-所以平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值为亍【教师备选】(2016-全国卷II)如图2-4-36,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点、E,F分别在AD,CD上，AE=CF=
15、,E
16、F交BD于点H.将/DEF(1)证明：DfH丄平面ABCD；(2)求二面角B-DfA・C的止弦值.［思路点拨］(1)题设条件翻折，DfH丄H丄OH-DH丄半面ABCD；(2)建系一求法向量〜求二面角的余弦值〜求二面角的正弦值.［解］(1)证明：由已知得AC丄BD,AD=CD.又由AE=CF得焉=卷,故AC〃EF・因此EF丄HD,从而EF丄H.由AB=5,AC=6得DO=BO=y/AB?—AO?=4.由EF//AC得需=篇=右所以OH=l,DfH=DH=3.于是DH2
