基于CGLS求解坐标转换参数.pdf

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1、第5期矿山测量NO．52010年l0月MINESURVEYING0ct．201Odoi：10．3969／j．issn．1001—358X．2010．05．018基于CGLS求解坐标转换参数李云云。冯遵德(徐州师范大学测绘学院。江苏徐州22l116)摘要：坐标转换是一项重要的计算工作，而转换参数的求解是坐标转换计算工作的关键问题之一。在转换参数的求解中如何克服或减弱病态问题对转换参数求解的影响。是提高转换参数精度的重要措施。文中运用几种典型的处理病态问题的方法求解转换参数，通过分析比较认为CGLS法效果较优。针对CGLS法提出了基于坐标差平方和最小作为迭代结束的条件，在实施

2、过程中证明是合理可行的。关键词：坐标转换；参数；病态问题；CGLS中图分类号：P226．3文献标识码：B文章编号：1001—358X(2010)05—0055—03大地测量学者对进行各种坐标系之间转换的基1二维平面直角坐标转换模型本方法和数学模型进行了大量研究，归纳坐标转换的基本方法主要分为两类：一是重新平差法；二是转二维平面直角坐标转换模型主要有相似转换模换模型法。转换模型法包括相似转换法、多项式拟型、多项式拟合模型。设某点在新坐标系中的坐标为l01合法、最小二乘配置等方法。转换模型法在测绘实(，Y)，该点在旧坐标系中的坐标为(，Y—i)，则在际工作中应用比较普遍．但无

3、论何种模型方法在求0l0相似变换模型中有下列关系：解转换坐标的过程中，都存在一个数值稳定性的问J“+‘。一ytd(一1)一一题_I]。特别是坐标转换参数不知的情况下求转换I)，=b+y,c+d。坐标．这是属于数学上的逆问题。在求逆问题的过式(1)中，口⋯bCd为转换参数。其中o、b为平一一一程中经常出现不适定问题。在数学领域，对不适定移参数；C、d是旋转参数。设两坐标系中有n个公共问题的求解已经有诸多的方法，包括各种优化方法、点(，Y)和(互，)，i=1，2，⋯，n。假设新坐标系的奇异值分解法(SVD)、正则化方法等。其中最具普坐标为观测值，旧坐标系中坐标为无误差，则可列

4、出遍性、理论上最完备的方法是正则化方法。正则化误差方程式：方法按求解的过程分为直接正则化法和迭代正则化方法。直接正则化法包括Tikhonov正则化方法、TSVD法。迭代正则化方法包括最速下降法、共轭梯度法(CG)、Landweber迭代算法等。各种方法的效(2)果取决于截断点的选取、正则参数和正则矩阵、迭代次数的确定。本文以二维平面直角坐标系的转换计算为例，提出采用共轭梯度法解算最小二乘问题(CGLS)来求解坐标转换参数，在具体实施过程中提出基于部即：V=B一Z(3)2nxl2nx44xl2nxI分点已知坐标与根据坐标转换参数计算的坐标差平式(3)中，=[abcd]，多项

5、式拟合可得方和最小作为迭代结束的条件，通过比较最小二乘、到类似的误差方程。依据参数平差法可得法方程及Tikhonov正则化方法的计算结果，说明采用CGLS参数解：方法的有效性。B曰一BZ=0令N=BB，W=Bf，则转换参数÷基金项目：江苏省高校自然科学研究基金l09KJB420003)=N；~re=(Bz(4)55第5期矿山测量2010年lO月那么，依据转换参数按式(1)可求得点在新坐标可行。可以有效地判断所求参数发散的问题。系的坐标。3坐标转换计算实例及分析但是由于两坐标系中公共点的分布往往局限在较小的范围内。造成观测信息不足．依此观测而进某地方坐标系中的点坐标要转换成

6、北京54坐行的最小二乘的参数估汁系统是病态系统，法方程标系的坐标．在两坐标系中有7个点同时具有两坐的系数矩阵是病态矩阵。按照式(4)计算出的转换标系中的坐标．见表I所列。按照式(1)、式(2)可参数一般摄动较大，结果不可靠。为了改善参数估选其中前5个点来计算转换参数。另外2个点由于计的质量，必须采用较为稳定的估计方法。按式(6)计算迭代结束的条件。襄l公共点坐标2CGLS迭代法及实施步骤序号地方坐标系对于二次泛函(m)l，(m)Q()=(A)，)(5)的极小点的查寻方向P，i：l，2，⋯，假设查寻方向P，相互正交，并且A为对称正定矩阵(这里A=B)，如果在处的斜量(梯度)

7、g=Q()和查寻方向都正交的话，则必有g=0。从而可确定就¨¨．，是极小点。显然，CGLS法的主要任务是确定查寻方向和g正交，进而确定极小点。对于法方程CGLS法的迭代步骤如下：按照上述方法建立误差方程：(1)任意取的初始向量，计算r0：P。=L～l5l5l5l5—57961．1O53l叭％53盯37钉64M5：乃2o，=Br0。l32735．547(’)计算(Bp0'l，—57873．452=兮他鼹¨柏132450．1822，⋯；—57447．234×(3)计算=x．+。P；l32433．584(4)}卜算+，=一却，+。=