常用的拉普拉斯变换及反变换.pdf

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1、附录A拉普拉斯变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质1齐次性L[af(t)]=aF(s)线性定理L[f(t)±f(t)]=F(s)±F(s)1212叠加性df(t)L[]=sF(s)−f(0)dt2L[df(t)]=s2F(s)−sf(0)ٛ−f′（0）2dtM2微分定理一般形式nndf(t)nn−k(k−1)L[]=sF(s)−∑sf(0)ndtk=1k−1(k−1)df(t)f(t)=k−1dtn初始条件为0时df(t)nL[]=sF(s)ndtF(s)[∫f(t)dt]t=0L[∫f(t)dt]=+ss22F(s)[∫f(t)dt]t=0[∫∫f

2、(t)(dt)]t=0L[f(t)(dt)]=++一般形式∫∫22sss3积分定理M共}n个共}n个nnF(s)1nL[∫L∫f(t)(dt)]=n+∑n−k+1[∫L∫f(t)(dt)]t=0sk=1s共}n个初始条件为0时L[Lf(t)(dt)n]=F(s)∫∫ns−Ts4延迟定理（或称t域平移定理）L[f(t−T)1(t−T)]=eF(s)−at5衰减定理（或称s域平移定理）L[f(t)e]=F(s+a)6终值定理limf(t)=limsF(s)t→∞s→07初值定理limf(t)=limsF(s)t→0s→∞tt8卷积定理L[∫0f1(t−τ)f2

3、(τ)dτ]=L[∫0f1(t)f2(t−τ)dτ]=F1(s)F2(s)4192．表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表序拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(z)号11δ(t)11∞z2δT(t)=∑δ(t−nT)1−e−Tsn=0z−111(t)z3sz−11Tz42t2s(z−1)221tTz(z+1)533s22(z−1)1nnnt(−1)∂z6lim()sn+1n!a→0n!∂anz−e−aT1z7e−at−aTs+az−e−aT1Tze8−at(s+a)2te−aT2(z−e)a−aT−at(1−e)z91−e−aTs(s+a)(z−1)(

4、z−e)b−azz10−at−bt−(s+a)(s+b)e−e−aT−bTz−ez−eωzsinωT11sinωt222s+ωz−2zcosωT+1sz(z−cosωT)12cosωt222s+ωz−2zcosωT+1ω−aTzesinωT13−at(s+a)2+ω2esinωt2−aT−2aTz−2zecosωT+es+a2−aT14−atz−zecosωT(s+a)2+ω2ecosωtz2−2ze−aTcosωT+e−2aT151t/Tzas−(1/T)lnaz−a4203．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开

5、，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式mm−1B(s)bms+bm−1s+L+b1s+b0F(s)==（n>m）nn−1A(s)as+as+L+as+ann−110式中系数a,a,...,a,a，b,b,Lb,b都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可01n−1n01m−1m将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。①A(s)=0无重根这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。ccccnc12iniF(s)=++L++L+=∑（F-1）s−s1s−s2s−sis−sni=1s−si式中，s,s,L,s是特征方程A(s)＝0的根。

6、c为待定常数，称为F(s)在s处的留数，可12nii按下式计算：c=lim(s−s)F(s)（F-2）iis→si或B(s)c=（F-3）iA′(s)s=si式中，A′(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数⎡nc⎤nf(t)=L−1[]F(s)=L−1∑i⎥＝∑ce−sit(F-4)⎢i⎣i=1s−si⎦i=1②A(s)=0有重根设A(s)=0有r重根s，F(s)可写为1B(s)F()s=r(s−s)(s−s)L(s−s)1r+1nccccccrr−11r+1in=++L+++L++L+rr−1(s−s)(s−s)(

7、s−s)s−ss−ss−s111r+1in式中，s为F(s)的r重根，s，…,s为F(s)的n-r个单根；1r+1n421其中，c，…,c仍按式(F-2)或(F-3)计算，c，c，…,c则按下式计算：r+1nrr−11rc=lim(s−s)F(s)r1s→s1drc=lim[(s−s)F(s)]r−11dss→s1M(j)1drc=lim(s−s)F(s)(F-5)r−j(j)1j!s→s1dsM(r−1)1drc=lim(s−s)F(s)1(r−1)1(r−1)!s→s1ds原函数f(t)为−1f(t)=L[]F(s)−1⎡crcr−1c1cr+1cic

8、n⎤=L⎢r+r−1+L+++L++L+⎥⎣(s−s1)(s−s1