拉普拉斯变换及反变换

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1、补充：拉普拉斯变换及反变换拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。概述一、拉普拉斯变换（2）常用函数的拉普拉斯变换（3）拉普拉斯变换的基本性质二、拉普拉斯反变换内容（1）定义定义当f(t)含有冲激函数项时，此项0拉氏变换积分上限说明：一、拉普拉斯变换F(s)=ℒ[f(t)]f(t)=ℒ-1[F(s)]表示为：0—f(t)，t[0,)称为原函数，属时域。原函数用小写字母表示，如f(t)，i(t)，u(t)F(s)称为象函数，属复频域。象函数F(s

2、)用大写字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：2.2常用函数的拉普拉斯变换（单位阶跃函数）tu(t)F(s)=ℒℒ(指数函数)F(s)==1ℒ（单位脉冲函数）δ(t)t0（单位斜坡函数）f(t)t0F(s)=L[f(t)]=ℒℒ（幂函数）ℒℒℒℒℒ常用函数的拉普拉斯变换表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δn(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw1f1(t)e-tt0例题求图示

3、两个函数的拉氏变换式1f2(t)e-tt0解由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的拉氏变换式相同当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式ℒ-12.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质ℒℒℒ例1ℒ例2ℒℒ二、微分定理ℒℒ例1ℒℒℒℒ初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)],R(S)=L[r(t)]对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)

4、-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0例3某动态电路的输入—输出方程为三、积分定理例ℒℒ四、时域平移f(t)f(t-t0)平移ℒ例1例2ℒℒ五、复频域平移ℒℒ例3ℒ六、初值定理和终值定理初值定理若ℒ[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则终值定理f(t)及其导数f(t)可进行拉氏变换，且例1例2例3ℒ例4：已知F(s)=解：由初值定理得，求f(0)和f(

5、∞)由终值定理得例右图所示电路中，电压源为，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。七、时域卷积性i(t)RL解（1）写出系统动力学方程（2）作Laplace变换得系统方框图h(t)Ui(s)H(s)I(s)零状态响应电流I(s)=Ui(s)H(s)=ℒ[ui(t)]H(s)=ℒℒ-1[I(s)]i(t)=（4）应用时域卷积定理（3）求系统传递函数h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作Laplace反变换得八、S域卷积性九、尺度变换性拉普拉斯变换的基本性质表拉普拉斯变换的基本性质表拉普拉斯变换的基本性质表本讲小

6、结：拉普拉斯变换定义常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质(1)ℒ利用作业1、写出拉普拉斯变换定义式2、1(s-1)2__二、拉普拉斯反变换1、由象函数求原函数（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式较麻烦象函数的一般形式：2、将F(s)进行部分分式展开等式两边同乘(s-s1)=0例1解：F(S)例2（m=n，用长除法）解：F(S)（k1,k2也是一对共轭复数）假设只有两个根设解：则欧拉公式例1法一：部分分式法展开，求系数。法二：将F2(s)改写为(s＋)2+2F(S)=

7、等式两边同乘例1等式两边乘得例2等式两边乘（4）一般多重根情况练习1:求其原函数s练习2:因为m>n，故采用同理可求练习3:（t≥0）练习4:2.5用拉氏变换法求解常微分方程,n作Laplace变换例1:1(t>0)0(t≤0)例如图所示电路中，电压源为，求零状态响应电流i(t)。i(t)RL（1）写出系统动力学方程（2）作Laplace变换得系统方框图Ui(s)H(s)I(s)作业：解:得零状态响应电流Ui(s)=ℒ[ui(t)]=ℒℒ-1[I(s)]i(t)=而（3）求出Ui(s)H(s)I(s)（5）作Lapl

8、ace反变换（4）用部分分式法，求