2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）.doc

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2019-2020学年广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出集合A、B,利用交集的运算即可得到结论．【详解】解：因为,,所以,即.故选：A【点睛】本题考查交集及其运算,求出集合A,B是解决本题的关键．2．若向量，且，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】根据向量垂直的坐标公式，即可代值计算.【详解】因为，故可得，即，解得.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题.3．若幂函数的图象过点，则的解析式为（）A．B．C．D．第20页共20页 【答案】B【解析】设出幂函数的解析式，待定系数，即可求得解析式.【详解】设幂函数，因为其过点，故可得解得，故.故选：B.【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，属基础题.4．如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（）A．11B．10C．9D．8【答案】D【解析】根据几何概型的概率计算公式，即可代值求解.【详解】设黑色部分的面积为，根据几何概型的概率计算公式可得：解得.故选：D.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题.5．命题“x=π”是“sinx=0”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A第20页共20页 【解析】由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，不一定有x=π，然后结合充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由x=π，得sinx=0；反之，由sinx=0，得x=kπ，k∈Z．∴“x=π”是“sinx=0”的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】去掉A,B；所以选C.7．已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积是（）第20页共20页 A．B．C．8D．【答案】B【解析】根据三视图，还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解体积即可.【详解】由三视图可知，该四棱锥如下图所示：其底面是长为4，宽为2的长方形，高为边长为3,3,4的三角形的高故该棱锥的体积为.故选：B.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及棱锥体积的计算，属基础题.8．已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，∴，第20页共20页 ∴，∴∴。由，∴，即椭圆离心率的取值范围为。选B。点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a，b，c的值，由直接求．(2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．9．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15(如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则（）A．1020B．1010C．510D．505【答案】D【解析】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.第20页共20页 10．已知、分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为、，是双曲线上任意一点，则分别以线段、为直径的两圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上情况均有可能【答案】B【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，讨论若P在双曲线的右支上和P在双曲线的左支上，结合双曲线的定义和中位线定理，以及两圆位置关系的判断方法，计算可得所求结论．【详解】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，若P在双曲线的右支上，可得m﹣n＝2a，设PF1的中点为H，由中位线定理可得可得|OH|n（m﹣2a）m﹣a，即有以线段PF1、A1A2为直径的两圆相内切；若P在双曲线的左支上，可得n﹣m＝2a，设PF1的中点为H，由中位线定理可得可得|OH|n（m+2a）m+a，即有以线段PF1、A1A2为直径的两圆相外切．故选B．【点睛】本题考查双曲线的定义和两圆的位置关系，注意运用定义法和三角形的中位线定理，属于中档题．二、多选题11．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0~5051~100101~150151~200201~300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染第20页共20页 如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】ABD【解析】根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.12．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（）A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根第20页共20页 B．当时，恒有C．若当时，的最小值为1，则D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则【答案】AC【解析】根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题.【详解】因为该函数是奇函数，故在R上的解析式为：绘制该函数的图像如下所示：对A：如图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；对B：当时，函数不是减函数，故B错误；对C：如图直线，与函数图交于，故当的最小值为1时，，故C正确；第20页共20页 对D：时，若使得其与的所有零点之和为0，则，或，如图直线，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.三、填空题13．设直线与圆相交于两点，则___________.【答案】【解析】化简得到标准方程，计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案.【详解】将圆化为标准方程，则圆心到直线的距离，因为半径为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了圆的弦长计算，利用垂径定理可以简化运算，是解题的关键.14．若直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球的表面上，若,则球的表面积等于________.【答案】【解析】利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解．第20页共20页 【详解】直三棱柱中，易知，，两两垂直，可知其为长方体的一部分，其直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，利用长方体外接球直径为其体对角线长，可知其直径为，，故答案为：．【点睛】本题主要考查三棱柱的外接球问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15．如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形…，记第块纸板的面积为，则（1）________，（2）如果对，恒成立，那么a的取值范围是________.【答案】【解析】根据题意，写出前3项，再归纳总结出与的关系式，并求的最小值，解不等式即可.【详解】第一块纸板面积为第二块纸板面积为第三块纸板面积为由此归纳总结，第块纸板面积为第20页共20页 因为，故要使得，恒成立只需，可解的，故.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列求和，以及其前项和的函数性质；需要注意的是要理解本题的意义，从而避免出错.四、解答题16．已知函数，当时取得最小值，当时取得最大值，且在区间上单调.则当取最大值时的值为________.【答案】【解析】根据函数取得最值的自变量，得到的等式，再根据函数在区间上单调，得到的范围，通过对取得最大值时的函数性质进行讨论，从而夹逼出的值.【详解】根据题意，因为当时取得最小值，当时取得最大值，第20页共20页 故，解得.因为在区间上单调，故，即可得解得，又，当时，且，由，得，此时在区间单调，满足题意.故的最大值为10，此时的值为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的周期性，单调性，属综合中档题；本题中对范围的求解，是关键的步骤.17．已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知，，可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列是公比为3的等比数列，且．可以得到数列的通项公式，最后求出数列的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列和等比数列前n项和公式，利用分组求和法求数列的前n项和.【详解】第20页共20页 解：（1）设等差数列的公差为d．由，，得，解得．所以．即的通项公式为：，．由于是公比为3的等比数列，且，所以．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）．数列的前n项和．【点睛】本题考查了等差数列基本量求法，考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力.18．在中，内角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）1【解析】（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.（2）由题意求出的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果．【详解】（1）由余弦定理得化简得，第20页共20页 ∴.∵，∴.（2）由，得，在中，∵，由正弦定理，得，.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.19．如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由，分别为，边的中点，可得第20页共20页 ，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，所以，因为，所以，，又因为，所以平面，所以平面．（2）取的中点，连接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因为，所以，又因为平面，平面平面，所以平面，过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，．，，设平面的法向量为，则即则，易知为平面的一个法向量，第20页共20页 ，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切.（1）求圆C的标准方程；（2）设点P（0,1），若直线与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求的值.【答案】(1)(2)或.【解析】（1）)设圆心（），圆的半径为，根据相切得到，计算得到答案.（2）)设，联立方程利用韦达定理得到，根据计算得到答案.【详解】第20页共20页 (1)设圆心（）∴圆的半径为，所以，解得：圆的标准方程是：(2)设.，消去得：△=，得：，又或.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，将转化为是解题的关键.21．已知函数Ⅰ当时，求的值域；Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（I）当时，利用降次公式化简，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得的值域.（II）解法一：同（I）将函数转化为二次函数的形式.对分成三类，讨论函数的是否有解，由此求得的取值范围.解法二：化简的表达式，换元后分离常数，再由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，令，令，第20页共20页 则，所以的值域为（Ⅱ）法一：令，令，①当，即时，，且，解得②，即时，，无解③当，即时，且，解得综上所述或法二：令，当，不合题意，∴∴，∵在，递减∴或∴或【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.22．已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，点满足（为坐标原点），求四边形面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）；（2）平行四边形OANB的面积最大值为2，直线的方程为第20页共20页 .【解析】【分析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，利用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标列出方程，解出a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立，消参，得到关于x的方程，利用韦达定理，得到和代入到中，通过换元法再利用均值不等式求出最大值，从而得到直线方程.试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，∵离心率为，∴，∴，又点是抛物线的焦点，∴，∴椭圆C的方程为.（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形，当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，直线与椭圆于、两点，由.由.，，∵，∴，令，则（由上式知），第20页共20页 ∴，当且仅当，即时取等号，∴当时，平行四边形OANB的面积最大值为2.此时直线的方程为.【考点】椭圆的标准方程和几何性质、抛物线的标准方程和几何性质、直线与椭圆相交问题.【详解】请在此输入详解！第20页共20页