柱坐标下的分离变量法Bessel函数.doc

《柱坐标下的分离变量法Bessel函数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、Chapter13柱坐标下的分离变量法Bessel函数Abstracts:以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解引入各种柱函数（Bessel函数、虚宗量Bessel函数和球Bessel函数等）。在分析这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1.柱坐标系下的稳定问题（Laplace方程）（1）即：（2）令，代入（2）得：（3）得：（4）分离变量得：（5）与周期性边界条件构成本征值问题。解得：（6）即为得：这两个方程，先求解哪一个以及m如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题

2、的边界条件。如果构成本征值问题，则式中m的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。即为Eulereq.（7）记：则：代入（7）得即为m阶Besseleq.令，代入得（8）记，代入（8）得：即为虚宗量Besseleq.（9）令：代入（9）得即为Besseleq.2.柱坐标系下的非稳定问题（振动、输运方程）令，代入上式得：分离变量得：和此为Helmholtz方程，即：令，代入上式得：同样要求对的符号加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于的本征值问题）。二、Bessel函数[(圆)柱函数]1.Bessel函数设则一般地（n可以不为整

3、数），其中：，，n阶（第一类）Bessel函数;n阶（第二类）Bessel函数.当是实数时，和都是实函数，现在再引入两个复函数。,第一种Hankel函数;,第二种Hankel函数,它们统称为n阶（第三类）Bessel函数，于是Besseleq.的解可以是以上四种函数中任何两个的线性组合。类似于都是方程的特解，其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示。2.各种柱函数的递推公式与渐近性质（1）递推公式代表.证明：例如，，即：同理又有：.特例：,.（2）渐近性质(A).很小时，(上述特例积分时用过此)..可见并非之零点，而是之阶零

4、点。.(B).很大时[衰减式震荡函数，证明见教材§13.5]3.Bessel函数的基本性质（这里仅仅讨论整数阶Bessel函数）（1）生成函数（母函数）特别地，令，有证明：则：（1’）平面波按柱面波的展开（2）加法公式证明：又令，则：所以（3）积分公式由得其中倒数第二等式的推导用了展开中的（4）的零点[方程的根](A).的零点有无限多个，且的零点都是一级零点:.为（）的级零点:.(B).的零点必正负成对：这是因为具有奇（偶）对称性，即，因此可以只讨论正零点。(C).阶数相差为1[与或]时，正零点必两两相间。证明思路：设为的相邻零点

5、，作辅助函数，根据微分中值定理,当时,必有使得再由递推公式可以知道，的零点之间有的零点。(D).的最小正零点必大于的最小正零点。证明思路：已知为的级零点。设为的最小正零点，作辅助函数由必有而取在再由可知,必为的零点。注：的零点的具体数值可以从专门的Bessel函数表查到，故当需要的零点时，可以当作已知，且记的正零点即的根为，i.e，导数为零的点，均为之一阶零点。（5）的图像（衰减式震荡函数）4.本征值问题（1）方程Laplace方程经变量分离后，其柱径向函数满足其标准形式为其中是已知常数（由的本征值问题确定）即参数待定（见下节）。

6、此方程是下列Sturm-Liouville方程的特例其中（2）边界条件设的变化区间是（即半径为的圆柱体内），上面的方程如果要构成本征值问题，则需附加边界条件；齐次边界条件：或或（3）解方程设记，代入上式得：这是阶Bessel方程，其解为：或者，对于第一类边界条件，的正零点记为，则：即为本征值，为本征函数，为量子数。特别地，当时，，矛盾于本征值，所以对于第二类边界条件，的正零点记为，则：，，特别地，当时，也是它的本征值，相应的本征函数为对于第三类边界条件，可以进行相似的讨论（思考题）。（4）正交性注意：当时，也是它的本征值。（5）模

7、方其中第三步用到了分部积分。由于所以如果，则故相似地，在第二类边界条件下（自证）：（6）广义Fourier级数区间上满足一定条件的任何函数可以展开为的广义Fourier级数：，其中.如果将展为本征函数族的广义Fourier级数，当时，当时，则为其中(源于),.对于第三类边界条件的本征值问题，可以进行类似地讨论（思考题）。例1:半径为的无限长导热介质圆柱，其侧面保持为零度，设初始温度为（常数），求柱体内温度的变化。解：以圆柱轴线为轴建立坐标系，则温度与和都无关，其中也就是热传导方程中的.设，代入上述方程和边界条件，可得：.这是零阶B

8、essel方程，所以本征值和本征函数分别是..,即为将常数按Bessel函数展开的广义Fourier级数。利用Bessel函数的正交性和模方计算，可以得到,其中，，.故.例2：由导体壁构成的中空圆柱，圆柱高为,半径为,设上底面的电势为，侧面和底面的