chapter 柱坐标下的分离变量法 bessel函数

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2016.12)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDUChapter13柱坐标下的分离变量法Bessel函数Abstracts以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数（Bessel函数、Norimann函数、Hankel函数、虚宗量Bessel函数、Macdonald函数和三类球Bessel函数等12个Bessel函数）。在分析这些函数性质的基础上，表述相应

2、定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1.柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace方程）（1）即：（2）只要实空间可分离变量，就可令，将其代入方程（2）得：（3）得：（4）由这种分离变量得：方程（5）与周期性边界条件构成本征值问题。解得：方程（6）即为得：这两个方程，先求解哪一个以及如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果）构成本征值问题，则34MethodsofMathematicalPhysics(2016.12)Chapter13Separationofvariablesincylindricalcoordina

3、tesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU式中的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。即为Eulereq.（7）记：则：代入（7）得（的量纲为这里将径向变量无量纲化了，相当于取）即为m阶Besseleq.令，代入得（8）记，代入（8）得：即为虚宗量Besseleq.（9）令：代入（9）得即为Besseleq.我们假设构成了S-L型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界条件，从而再解出得2.柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程）只要时空可分离变量，就可令，将其代入上式得：34MethodsofMathematicalPhysics

4、(2016.12)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU注意两个方程及其的物理意义不同。分离变量得：和此为Helmholtz方程，即：只要实空间可分离变量，就可令，将其代入上式得：同样要求对的符号加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于的本征值问题）。二、Bessel函数[(圆)柱函数]1.Bessel函数设则一般地[如果中没有周期条件，则n可以不为整数]，其中：，，阶（第一类）Bessel函数;阶（第二类）Bessel函数.34Me

5、thodsofMathematicalPhysics(2016.12)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU当是实数时，和都是实函数，现在再引入两个复函数。,第一种Hankel函数;,第二种Hankel函数,它们统称为阶（第三类）Bessel函数，于是Bessel方程的解可以是以上四种函数中任何两个的线性组合。这个类似于都是方程的特解；或方程的特解有，其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示[方程的通解是这四个函数的线性组合]。2.

6、各种柱函数的递推公式与渐近性质（1）递推公式代表.证明：例如，，即：同理又有：.特例：,见下,其实是定义)..34MethodsofMathematicalPhysics(2016.12)Chapter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU（2）渐近行为(定性分析)(A).很小时，其中，称为欧拉（Euler）常数.(上述特例积分时用过此)..可见并非之零点，而是之阶零点.34MethodsofMathematicalPhysics(2016.12)Ch

7、apter13SeparationofvariablesincylindricalcoordinatesandBesselfunctionsYLMa@Phys.FDU(B).很大时[衰减式震荡函数，证明见教材§13.5]3.Bessel函数的基本性质（这里仅仅讨论整数阶Bessel函数）（1）生成函数（母函数，复习）特别地，令，有证明：则：（2）平面波按柱面波的展开（匹配、归化、一统描述）34MethodsofMathematicalPhysics(2016.12)Chapter13Separationofvariablesincylindrical